Para resolver el sistema de ecuaciones lineales dado:
[tex]\[
\begin{array}{rcl}
-5b + 5c & = & 15 \\
4a + 6b & = & 30 \\
-4a - 2b + c & = & -12
\end{array}
\][/tex]
Sigamos los siguientes pasos:
1. Dar forma a las ecuaciones:
- La primera ecuación se presenta así: [tex]\(-5b + 5c = 15\)[/tex].
- La segunda ecuación se presenta así: [tex]\(4a + 6b = 30\)[/tex].
- La tercera ecuación se presenta así: [tex]\(-4a - 2b + c = -12\)[/tex].
2. Reformular las ecuaciones en la forma de una matriz:
[tex]\[
A = \begin{pmatrix}
0 & -5 & 5 \\
4 & 6 & 0 \\
-4 & -2 & 1
\end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix}
15 \\
30 \\
-12
\end{pmatrix}
\][/tex]
3. Resolver el sistema de ecuaciones:
Usamos métodos algebraicos para obtener los valores de [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex], y [tex]\(c\)[/tex].
### Paso a paso:
Primero, observamos las ecuaciones:
[tex]\[
\begin{array}{rcl}
-5b + 5c & = & 15 \quad (1) \\
4a + 6b & = & 30 \quad (2) \\
-4a - 2b + c & = & -12 \quad (3)
\end{array}
\][/tex]
Resolvemos la ecuación (2) por [tex]\(a\)[/tex]:
[tex]\[
4a + 6b = 30 \implies 4a = 30 - 6b \implies a = \frac{30 - 6b}{4} = 7.5 - 1.5b \quad (2')
\][/tex]
Reemplazamos el valor de [tex]\(a\)[/tex] de (2') en la ecuación (3):
[tex]\[
-4(7.5 - 1.5b) - 2b + c = -12 \implies -30 + 6b - 2b + c = -12 \implies 4b + c - 30 = -12 \implies 4b + c = 18 \quad (3')
\][/tex]
Entonces tenemos el sistema reducido:
[tex]\[
\begin{array}{rcl}
-5b + 5c & = & 15 \quad (1) \\
4b + c & = & 18 \quad (3')
\end{array}
\][/tex]
Reemplazamos [tex]\(c\)[/tex] de (3') en (1):
[tex]\[
c = 18 - 4b
\][/tex]
[tex]\[
-5b + 5(18 - 4b) = 15 \implies -5b + 90 - 20b = 15 \implies -25b + 90 = 15 \implies -25b = -75 \implies b = 3
\][/tex]
Sustituimos el valor de [tex]\(b\)[/tex] de nuevo para [tex]\(c\)[/tex] en (3'):
[tex]\[
4b + c = 18 \implies 4(3) + c = 18 \implies 12 + c = 18 \implies c = 6
\][/tex]
Finalmente, sustituimos [tex]\(b\)[/tex] en (2') para hallar [tex]\(a\)[/tex]:
[tex]\[
a = 7.5 - 1.5b = 7.5 - 1.5(3) = 7.5 - 4.5 = 3
\][/tex]
Por lo tanto, los valores que satisfacen el sistema son:
[tex]\[
a = 1.4117647058823537, \quad b = 4.0588235294117645, \quad c = 1.7647058823529451
\][/tex]
Estos valores están en términos de la solución decimal obtenida:
[tex]\[
(a, b, c) = (3, 3, 6)
\][/tex]
