Para resolver el sistema de ecuaciones:
[tex]\[
\begin{cases}
3y = 4x + 2 \\
0 = -x - \frac{7}{6}y + \frac{11}{3}
\end{cases}
\][/tex]
Vamos a seguir estos pasos:
### Paso 1: Convertir las ecuaciones en una forma más manejable
Primera ecuación:
[tex]\[ 3y = 4x + 2 \][/tex]
Segunda ecuación:
[tex]\[ 0 = -x - \frac{7}{6}y + \frac{11}{3} \][/tex]
Reordenamos la segunda ecuación para despejar el término constante al otro lado:
[tex]\[ x + \frac{7}{6}y = \frac{11}{3} \][/tex]
### Paso 2: Eliminar una de las variables
Vamos a despejar [tex]\( y \)[/tex] de la primera ecuación:
[tex]\[ 3y = 4x + 2 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{4x + 2}{3} \][/tex]
Sustituimos esta expresión para [tex]\( y \)[/tex] en la segunda ecuación:
[tex]\[ x + \frac{7}{6} \left(\frac{4x + 2}{3}\right) = \frac{11}{3} \][/tex]
### Paso 3: Simplificar la ecuación resultante
Primero, simplificamos dentro del paréntesis:
[tex]\[ x + \frac{7}{6} \cdot \frac{4x + 2}{3} = \frac{11}{3} \][/tex]
[tex]\[ x + \frac{7 (4x + 2)}{18} = \frac{11}{3} \][/tex]
Multiplicamos y simplificamos el numerador:
[tex]\[ x + \frac{28x + 14}{18} = \frac{11}{3} \][/tex]
Simplificamos la fracción:
[tex]\[ x + \frac{14(2x + 1)}{18} = \frac{11}{3} \][/tex]
[tex]\[ x + \frac{14x + 7}{9} = \frac{11}{3} \][/tex]
Multiplicamos toda la ecuación por 9 para eliminar los denominadores:
[tex]\[ 9x + 14x + 7 = 33 \][/tex]
Sumamos los términos:
[tex]\[ 23x + 7 = 33 \][/tex]
Restamos 7 de ambos lados:
[tex]\[ 23x = 26 \][/tex]
### Paso 4: Resolver para [tex]\( x \)[/tex]
Despejamos [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{26}{23} \][/tex]
### Paso 5: Sustituir [tex]\( x \)[/tex] en la ecuación original
Usamos la expresión de [tex]\( y = \frac{4x + 2}{3} \)[/tex]:
[tex]\[ y = \frac{4 \left( \frac{26}{23} \right) + 2}{3} \][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[ y = \frac{\frac{104}{23} + 2}{3} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{\frac{104}{23} + \frac{46}{23}}{3} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{\frac{150}{23}}{3} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{150}{69} \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{50}{23} \][/tex]
### Resultado Final
Por lo tanto, la solución del sistema de ecuaciones es:
[tex]\[ x = \frac{26}{23} \approx 1.13043478260870 \][/tex]
[tex]\[ y = \frac{50}{23} \approx 2.17391304347826 \][/tex]
Así, los valores [tex]\(\left( x, y \right)\)[/tex] que resuelven el sistema son:
[tex]\[ \boxed{\left(\frac{26}{23}, \frac{50}{23}\right)} \][/tex]
Esta coincide con la solución [tex]\(\left(1.13043478260870, 2.17391304347826\right)\)[/tex] convertida en forma decimal.
