Para determinar el intervalo en el que la función [tex]\( f(x) = x^2 - 2x \)[/tex] está decreciendo, seguimos estos pasos:
1. Derivamos la función [tex]\( f(x) = x^2 - 2x \)[/tex] para obtener la función derivada [tex]\( f'(x) \)[/tex].
[tex]\[ f'(x) = 2x - 2 \][/tex]
2. Encontramos los puntos críticos de la función, es decir, aquellos valores de [tex]\( x \)[/tex] donde la derivada es igual a cero.
[tex]\[ 2x - 2 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 2x = 2 \][/tex]
[tex]\[ x = 1 \][/tex]
3. Analizamos el signo de la derivada en los intervalos que se forman alrededor del punto crítico [tex]\( x = 1 \)[/tex]. La función cambiará de decreciente a creciente en este punto crítico.
4. Probamos valores en los intervalos para determinar el signo de la derivada. Por ejemplo:
- Para [tex]\( x < 1 \)[/tex] (por ejemplo, [tex]\( x = 0 \)[/tex]):
[tex]\[ f'(0) = 2(0) - 2 = -2 \][/tex]
La derivada es negativa, lo que significa que la función está decreciendo en este intervalo.
5. Del análisis anterior, concluimos que la función [tex]\( f(x) \)[/tex] decrece en el intervalo donde [tex]\( x < 1 \)[/tex].
Entonces, el intervalo donde la función [tex]\(\ f(x) = x^2 - 2x \)[/tex] está decreciendo es:
[tex]\[ (-\infty, 1) \][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
B. [tex]\((-∞, 1)\)[/tex]
