Para encontrar la ecuación de segundo grado cuya raíces son [tex]\(x_1 = 3 + \sqrt{10}\)[/tex] y [tex]\(x_2 = 3 - \sqrt{10}\)[/tex], podemos utilizar las propiedades de las raíces de ecuaciones cuadráticas. Conocemos que para una ecuación cuadrática de la forma [tex]\(ax^2 + bx + c = 0\)[/tex], si [tex]\(x_1\)[/tex] y [tex]\(x_2\)[/tex] son las raíces, entonces las siguientes relaciones se cumplen:
1. La suma de las raíces es [tex]\(- \frac{b}{a}\)[/tex].
2. El producto de las raíces es [tex]\(\frac{c}{a}\)[/tex].
Primero, calculemos la suma de las raíces:
[tex]\[
x_1 + x_2 = (3 + \sqrt{10}) + (3 - \sqrt{10})
\][/tex]
Se simplifica como:
[tex]\[
x_1 + x_2 = 3 + 3 + \sqrt{10} - \sqrt{10} = 6
\][/tex]
Por lo tanto, la suma de las raíces es [tex]\(6\)[/tex].
Segundo, calculemos el producto de las raíces:
[tex]\[
x_1 \cdot x_2 = (3 + \sqrt{10})(3 - \sqrt{10})
\][/tex]
Utilizando la identidad de productos notables [tex]\((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)[/tex]:
[tex]\[
x_1 \cdot x_2 = 3^2 - (\sqrt{10})^2
\][/tex]
Entonces se simplifica como:
[tex]\[
x_1 \cdot x_2 = 9 - 10 = -1
\][/tex]
Por lo tanto, el producto de las raíces es [tex]\(-1\)[/tex].
Con estos resultados, podemos escribir la ecuación de segundo grado utilizando la forma general [tex]\(x^2 - (\text{suma de las raíces})x + (\text{producto de las raíces}) = 0\)[/tex]:
[tex]\[
x^2 - (x_1 + x_2)x + x_1 \cdot x_2 = 0
\][/tex]
Sustituyendo los valores obtenidos para la suma y el producto de las raíces:
[tex]\[
x^2 - 6x - 1 = 0
\][/tex]
Por lo tanto, la ecuación de segundo grado cuyas raíces son [tex]\(x_1 = 3 + \sqrt{10}\)[/tex] y [tex]\(x_2 = 3 - \sqrt{10}\)[/tex] es:
[tex]\[
x^2 - 6x - 1 = 0
\][/tex]
