Para calcular [tex]\( K \)[/tex] definido como
[tex]\[ K = \left[(9 \downarrow 2) \downarrow (6 \downarrow 8)\right]^{\frac{1}{2}}, \][/tex]
sigamos los pasos necesarios detalladamente.
### Paso 1: Calcular [tex]\( 9 \downarrow 2 \)[/tex]
Dado que [tex]\( p \downarrow q \)[/tex] se define de la siguiente forma:
[tex]\[
\begin{array}{l}
p \downarrow q = p - 2q \quad \text{si} \quad p \geq q \\
p \downarrow q = p + 2q \quad \text{si} \quad p < q
\end{array}
\][/tex]
Primero comparamos 9 contra 2:
[tex]\[ 9 \geq 2 \][/tex]
Aplicamos la primera definición para [tex]\( p \geq q \)[/tex]:
[tex]\[ 9 \downarrow 2 = 9 - 2 \cdot 2 = 9 - 4 = 5 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ 9 \downarrow 2 = 5 \][/tex]
### Paso 2: Calcular [tex]\( 6 \downarrow 8 \)[/tex]
Comparamos 6 contra 8:
[tex]\[ 6 < 8 \][/tex]
Aplicamos la segunda definición para [tex]\( p < q \)[/tex]:
[tex]\[ 6 \downarrow 8 = 6 + 2 \cdot 8 = 6 + 16 = 22 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ 6 \downarrow 8 = 22 \][/tex]
### Paso 3: Calcular [tex]\( (5 \downarrow 22) \)[/tex]
Comparamos 5 contra 22:
[tex]\[ 5 < 22 \][/tex]
Aplicamos la segunda definición para [tex]\( p < q \)[/tex]:
[tex]\[ 5 \downarrow 22 = 5 + 2 \cdot 22 = 5 + 44 = 49 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ 5 \downarrow 22 = 49 \][/tex]
### Paso 4: Calcular [tex]\( K \)[/tex]
Finalmente, calculamos [tex]\( K \)[/tex] tomando la raíz cuadrada de 49:
[tex]\[ K = 49^{\frac{1}{2}} = \sqrt{49} = 7 \][/tex]
### Resumen Final
[tex]\[
(9 \downarrow 2) = 5
\][/tex]
[tex]\[
(6 \downarrow 8) = 22
\][/tex]
[tex]\[
(5 \downarrow 22) = 49
\][/tex]
[tex]\[
K = \sqrt{49} = 7
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( K \)[/tex] es:
[tex]\[ K = 7 \][/tex]
