Para calcular la cantidad de factores primos que tiene el polinomio [tex]\( P(x) = x^5 + 4x^4 - 10x^2 - x + 6 \)[/tex], seguimos estos pasos:
1. Identificación del polinomio:
Reconocemos que el polinomio en cuestión es [tex]\( P(x) = x^5 + 4x^4 - 10x^2 - x + 6 \)[/tex].
2. Factorización del polinomio:
Procedemos a factorizar el polinomio para encontrar sus factores irreducibles. La factorización de [tex]\( P(x) \)[/tex] nos da:
[tex]\[
P(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x - 1)^2
\][/tex]
Esto significa que el polinomio se puede expresar como el producto de varios factores más simples.
3. Identificación de factores primos:
Los factores primos son aquellos factores irreducibles únicos en la factorización del polinomio.
En la factorización obtenida tenemos los siguientes factores:
[tex]\[
(x + 1), (x + 2), (x + 3), (x - 1)
\][/tex]
El factor [tex]\((x - 1)\)[/tex] aparece como [tex]\((x - 1)^2\)[/tex], pero es considerado como un único factor irreducible puesto que es el mismo factor repetido.
4. Conteo de factores primos:
Contamos los factores irreducibles únicos:
[tex]\[
(x + 1), (x + 2), (x + 3), (x - 1)
\][/tex]
Esto suma un total de 4 factores primos.
Entonces, la cantidad de factores primos que tiene el polinomio [tex]\( P(x) \)[/tex] es [tex]\(\boxed{4}\)[/tex].
