Para resolver el problema, primero debemos recordar algunas propiedades de los triángulos:
1. En un triángulo, la suma de los ángulos interiores es 180 grados.
2. En un triángulo obtusángulo, uno de los ángulos es mayor a 90 grados.
Dado que los ángulos agudos son [tex]\(5\alpha\)[/tex] y [tex]\(\alpha - \beta\)[/tex], nombramos el tercer ángulo como [tex]\(\gamma\)[/tex]. La suma de todos los ángulos del triángulo es:
[tex]\[
5\alpha + (\alpha - \beta) + \gamma = 180
\][/tex]
Resolvemos para [tex]\(\gamma\)[/tex]:
[tex]\[
\gamma = 180 - 5\alpha - (\alpha - \beta)
\][/tex]
Simplificando, obtenemos:
[tex]\[
\gamma = 180 - 6\alpha + \beta
\][/tex]
Para que el triángulo sea obtusángulo, uno de los ángulos debe ser mayor a 90 grados. Debido a que [tex]\(5\alpha\)[/tex] y [tex]\(\alpha - \beta\)[/tex] son ángulos agudos (menores que 90 grados), [tex]\(\gamma\)[/tex] debe ser el ángulo obtuso (> 90 grados):
[tex]\[
180 - 6\alpha + \beta > 90
\][/tex]
Resolvemos la desigualdad para [tex]\(\beta\)[/tex]:
[tex]\[
180 - 6\alpha + \beta > 90
\][/tex]
Restamos 180 de ambos lados:
[tex]\[
-6\alpha + \beta > 90 - 180
\][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[
-6\alpha + \beta > -90
\][/tex]
Sumamos [tex]\(6\alpha\)[/tex] a ambos lados:
[tex]\[
\beta > 6\alpha - 90
\][/tex]
Queremos encontrar el valor máximo para [tex]\(\beta\)[/tex]. Dado que [tex]\(\alpha\)[/tex] y [tex]\(\beta\)[/tex] son números enteros, y para maximizar [tex]\(\beta\)[/tex], debemos encontrar el valor permitido más grande para [tex]\(\alpha\)[/tex].
Reescribamos la inequación para encontrar la restricción en [tex]\(\beta\)[/tex]:
[tex]\[
\beta \leq 6\alpha - 90
\][/tex]
Tomando en cuenta que [tex]\(\alpha\)[/tex] y [tex]\(\beta\)[/tex] son enteros y deben ser positivos, [tex]\(\beta\)[/tex] será mayor o igual a [tex]\(6\alpha - 90\)[/tex]. Sin embargo, la inequación debe seguir siendo válida y las medidas de los ángulos deben mantenerse dentro de los límites de un triángulo.
Finalmente, el mayor valor para [tex]\(\beta\)[/tex] en función del [tex]\(\alpha\)[/tex] que cumpla con los requisitos dados, sería:
[tex]\[
\boxed{\beta > 6\alpha - 90}
\][/tex]
Revisa el valor de [tex]\(\alpha\)[/tex] para garantizar que [tex]\(\beta\)[/tex] sea un entero positivo dado:[tex]\( \alpha = 16 \)[/tex] sería el valor positivo más bajo permitiendo un [tex]\(\beta\)[/tex] mayor:
[tex]\[
\beta > 6(16) - 90 \][/tex]
[tex]\[
beta > 96 - 90
\][/tex]
[tex]\[
beta > 6
\][/tex]
Por lo tanto:
El mayor valor de [tex]\(\beta\)[/tex] es [tex]\( \boxed{\beta \leq 6 \alpha - 90} \)[/tex] ajustando proporcionalmente [tex]\(\alpha \)[/tex].
