Para resolver el problema de encontrar las unidades de [tex]\( x \)[/tex] para que la ecuación [tex]\( A = P + \frac{1}{2} x v^2 \)[/tex] sea dimensionalmente correcta, sigamos estos pasos:
1. Identificar las unidades de los parámetros dados:
- P (Presión): En el Sistema Internacional, la unidad de presión (Pascal) es [tex]\( \text{Pa} = \frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2} \)[/tex].
- v (Velocidad): La unidad de velocidad es metros por segundo ([tex]\(\text{m/s}\)[/tex]).
2. Escribir la ecuación con las unidades:
[tex]\[ A = P + \frac{1}{2} x v^2 \][/tex]
3. Descomponer las unidades de cada término en la ecuación:
- Unidades del primer término [tex]\( P \)[/tex]:
[tex]\[ [P] = \frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2} \][/tex]
- Unidades del segundo término [tex]\(\frac{1}{2} x v^2 \)[/tex]:
[tex]\[ \left[ \frac{1}{2} x v^2 \right] = [x] \cdot [v^2] \][/tex]
Donde [tex]\( [v^2] = (\text{m/s})^2 = \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2} \)[/tex].
4. Igualar las unidades de ambos lados de la ecuación:
Para que la ecuación sea dimensionalmente correcta, las unidades de [tex]\( P \)[/tex] y [tex]\( \frac{1}{2} x v^2 \)[/tex] deben ser iguales:
[tex]\[ \left[ P \right] = \left[ \frac{1}{2} x v^2 \right] \][/tex]
[tex]\[ \frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2} = [x] \cdot \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2} \][/tex]
5. Despejar [tex]\( [x] \)[/tex]:
[tex]\[ [x] \cdot \frac{\text{m}^2}{\text{s}^2} = \frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2} \][/tex]
[tex]\[ [x] = \frac{\text{kg}}{\text{m} \cdot \text{s}^2} \cdot \frac{\text{s}^2}{\text{m}^2} \][/tex]
[tex]\[ [x] = \frac{\text{kg} \cdot \text{s}^2}{\text{m}^3} \][/tex]
6. Comparar con las opciones dadas:
- a) [tex]\( \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \)[/tex] (No coincide)
- b) [tex]\( \frac{\text{kg}}{\text{m}^2} \)[/tex] (No coincide)
- c) kg (No coincide)
- d) kg.s (No coincide)
- e) [tex]\( \frac{\text{kg} \cdot \text{s}}{\text{m}} \)[/tex] (No coincide)
- La opción correcta no está explícitamente en la lista, pero la más próxima que podría interpretarse en esta situación es la opción a) [tex]\( \frac{\text{kg}}{\text{m}^3} \)[/tex].
Por lo tanto, la unidad de [tex]\( x \)[/tex] en el Sistema Internacional de Unidades (S.I.) es [tex]\(\frac{\text{kg} \cdot \text{s}^2}{\text{m}^3} \)[/tex]. Dada la interpretación incorrecta del resultado, la opción más cercana sería la opción a) pero la correcta que buscamos es [tex]\(\frac{\text{kg} \cdot \text{s}^2}{\text{m}^3}\)[/tex].
