Para encontrar la ecuación de una recta paralela a [tex]$y = \frac{1}{2}x + 1$[/tex] que pase por el punto [tex]$(4, 1)$[/tex], debemos seguir estos pasos:
1. Identificar la pendiente de la recta original:
La pendiente de la recta dada [tex]$y = \frac{1}{2}x + 1$[/tex] es [tex]\( \frac{1}{2} \)[/tex].
2. Determinar la pendiente de la recta paralela:
Las rectas paralelas tienen la misma pendiente. Por lo tanto, la pendiente de la nueva recta también será [tex]\( \frac{1}{2} \)[/tex].
3. Usar la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta:
La forma punto-pendiente de la ecuación de una recta es:
[tex]\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\][/tex]
donde [tex]\(m\)[/tex] es la pendiente y [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] es el punto por el que pasa la recta.
4. Sustituir la pendiente y el punto dado en la forma punto-pendiente:
Sustituimos [tex]\( m = \frac{1}{2} \)[/tex], [tex]\( x_1 = 4 \)[/tex] y [tex]\( y_1 = 1 \)[/tex]:
[tex]\[
y - 1 = \frac{1}{2}(x - 4)
\][/tex]
5. Convertir la ecuación a la forma pendiente-intersección (y = mx + c):
Expandimos y simplificamos la ecuación para escribirla en forma pendiente-intersección:
[tex]\[
y - 1 = \frac{1}{2}x - 2
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{1}{2}x - 2 + 1
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{1}{2}x - 1
\][/tex]
Por lo tanto, la ecuación de la recta paralela que pasa por el punto [tex]$(4, 1)$[/tex] es:
[tex]\[
y = \frac{1}{2}x - 1
\][/tex]
