Claro, vamos a resolver cada uno de estos problemas paso a paso para encontrar las ecuaciones de las rectas con las condiciones dadas.
### Caso 1: Pendiente 2 y pasa por (1, 2)
1. Identificar la pendiente (m):
- La pendiente es [tex]\( m = 2 \)[/tex].
2. Utilizar la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta:
- La forma punto-pendiente es [tex]\( y - y_1 = m(x - x_1) \)[/tex].
3. Sustituir los valores dados en la ecuación:
- El punto dado es [tex]\((x_1, y_1) = (1, 2)\)[/tex].
- Sustituimos en la fórmula:
[tex]\[
y - 2 = 2(x - 1)
\][/tex]
4. Simplificar la ecuación para encontrar la forma general:
- Expande la ecuación:
[tex]\[
y - 2 = 2x - 2
\][/tex]
- Suma 2 en ambos lados para despejar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[
y = 2x
\][/tex]
5. Resultado de la ecuación de la recta:
- La ecuación de la recta es:
[tex]\[
y = 2x
\][/tex]
### Caso 2: Pendiente -2 y pasa por (-1, -2)
1. Identificar la pendiente (m):
- La pendiente es [tex]\( m = -2 \)[/tex].
2. Utilizar la forma punto-pendiente de la ecuación de la recta:
- La forma punto-pendiente es [tex]\( y - y_1 = m(x - x_1) \)[/tex].
3. Sustituir los valores dados en la ecuación:
- El punto dado es [tex]\((x_1, y_1) = (-1, -2)\)[/tex].
- Sustituimos en la fórmula:
[tex]\[
y - (-2) = -2(x - (-1))
\][/tex]
- Simplificamos los signos:
[tex]\[
y + 2 = -2(x + 1)
\][/tex]
4. Simplificar la ecuación para encontrar la forma general:
- Expande la ecuación:
[tex]\[
y + 2 = -2x - 2
\][/tex]
- Resta 2 en ambos lados para despejar [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[
y = -2x - 4
\][/tex]
5. Resultado de la ecuación de la recta:
- La ecuación de la recta es:
[tex]\[
y = -2x - 4
\][/tex]
### Resumen
Para las condiciones dadas, las ecuaciones de las rectas son:
1. Para la pendiente 2 y pasa por [tex]\((1, 2)\)[/tex]:
[tex]\[
y = 2x
\][/tex]
2. Para la pendiente -2 y pasa por [tex]\((-1, -2)\)[/tex]:
[tex]\[
y = -2x - 4
\][/tex]
Estas son las ecuaciones generales de las rectas que cumplen con las condiciones dadas en cada caso.
