Para encontrar la ecuación de la parábola cuyo vértice se encuentra en el origen, y cuyo foco está en el punto F(0, 4), seguimos los siguientes pasos detallados:
1. Identificar la forma de la ecuación de la parábola:
Dado que el vértice está en el origen (0, 0) y la parábola tiene un eje vertical de simetría (los puntos clave en el eje y), la ecuación general para esta configuración es:
[tex]\[
x^2 = 4py
\][/tex]
donde [tex]\( p \)[/tex] es la distancia del vértice al foco.
2. Determinar la distancia [tex]\( p \)[/tex]:
El foco de la parábola es [tex]\( (0, 4) \)[/tex]. La distancia [tex]\( p \)[/tex] desde el vértice (0, 0) al foco (0, 4) es 4 unidades.
3. Sustituir [tex]\( p \)[/tex] en la ecuación:
Sustituimos [tex]\( p \)[/tex] con el valor de la distancia del vértice al foco obtenida anteriormente:
[tex]\[
x^2 = 4 \cdot 4 \cdot y
\][/tex]
4. Simplificar la ecuación:
Simplificamos la expresión para obtener la ecuación de la parábola:
[tex]\[
x^2 = 16y
\][/tex]
Respuesta final:
La ecuación de la parábola cuyo vértice se encuentra en el origen y cuyo foco es el punto [tex]\( F(0, 4) \)[/tex] es:
[tex]\[
x^2 = 16y
\][/tex]
