Answer :
Claro! Vamos abordar cada parte da questão detalhadamente.
### f) Representação Gráfica da Função g(x) = log2(x + 1)
Para representar graficamente a função [tex]\( g(x) = \log_2(x + 1) \)[/tex], precisamos traçar pontos em um gráfico tendo [tex]\( x \)[/tex] no eixo horizontal (eixo x) e [tex]\( g(x) \)[/tex] no eixo vertical (eixo y).
Aqui está um esboço da função:
1. A função [tex]\(\log_2(x + 1)\)[/tex] é definida apenas para [tex]\( x \geq -1 \)[/tex].
2. Quando [tex]\( x = 0 \)[/tex], [tex]\( g(x) = \log_2(0 + 1) = 0 \)[/tex].
3. À medida que [tex]\( x \)[/tex] aumenta, [tex]\( g(x) \)[/tex] também aumenta lentamente.
Esboço do gráfico:
```
| /
| /
| /
|____________________________/____________________
x = -1
```
### g) Contradomínio de g(x)
O contradomínio (codomínio) de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
Para [tex]\( g(x) = \log_2(x + 1) \)[/tex]:
- Quando [tex]\( x \)[/tex] tende a infinito, [tex]\( g(x) \)[/tex] também tende a infinito ([tex]\( \log_2(x + 1) \to \infty \)[/tex]).
- Quando [tex]\( x = 0 \)[/tex], [tex]\( g(x) = \log_2(1) = 0 \)[/tex].
- Não existe valor de [tex]\( g(x) \)[/tex] que seja negativo porque [tex]\( \log_2 \)[/tex] de um número positivo é sempre não-negativo.
Portanto, o contradomínio de [tex]\( g(x) \)[/tex] é [tex]\([0, \infty)\)[/tex].
### h) Zero da Função g(x)
O zero de uma função é o valor de [tex]\( x \)[/tex] para o qual a função assume o valor zero.
Para encontrar o zero de [tex]\( g(x) = \log_2(x + 1) \)[/tex]:
- [tex]\( g(x) = 0 \)[/tex]
- [tex]\( \log_2(x + 1) = 0 \)[/tex]
- Uma função logarítmica é igual a zero quando seu argumento é igual a 1: [tex]\( x + 1 = 2^0 \)[/tex]
- [tex]\( x + 1 = 1 \)[/tex]
- [tex]\( x = 0 \)[/tex]
Portanto, o zero da função é [tex]\( x = 0 \)[/tex].
### i) Equação da Assíntota
A assíntota é uma linha que a função se aproxima mas nunca toca. No caso da função logarítmica [tex]\( \log_2(x + 1) \)[/tex], observamos o seguinte:
- À medida que [tex]\( x \)[/tex] se aproxima de [tex]\( -1 \)[/tex] a partir da direita, [tex]\( g(x) \)[/tex] se aproxima de [tex]\( -\infty \)[/tex].
- Portanto, existe uma assíntota vertical em [tex]\( x = -1 \)[/tex].
A equação da assíntota é [tex]\( x = -1 \)[/tex].
### j) Estudo da Variação da Função
Para o estudo da variação da função, verificamos como a função se comporta em termos de aumento e diminuição:
- A função [tex]\( g(x) = \log_2(x + 1) \)[/tex] é estritamente crescente para todo [tex]\( x \)[/tex] maior que [tex]\( -1 \)[/tex].
- Verificamos isso porque a derivada de [tex]\( \log_2(x + 1) \)[/tex] é positiva para [tex]\( x > -1 \)[/tex].
Portanto, a variação da função é:
- Crescente para todos os [tex]\( x > -1 \)[/tex].
Assim, concluímos a análise detalhada da função [tex]\( g(x) = \log_2(x + 1) \)[/tex].
### f) Representação Gráfica da Função g(x) = log2(x + 1)
Para representar graficamente a função [tex]\( g(x) = \log_2(x + 1) \)[/tex], precisamos traçar pontos em um gráfico tendo [tex]\( x \)[/tex] no eixo horizontal (eixo x) e [tex]\( g(x) \)[/tex] no eixo vertical (eixo y).
Aqui está um esboço da função:
1. A função [tex]\(\log_2(x + 1)\)[/tex] é definida apenas para [tex]\( x \geq -1 \)[/tex].
2. Quando [tex]\( x = 0 \)[/tex], [tex]\( g(x) = \log_2(0 + 1) = 0 \)[/tex].
3. À medida que [tex]\( x \)[/tex] aumenta, [tex]\( g(x) \)[/tex] também aumenta lentamente.
Esboço do gráfico:
```
| /
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| /
|____________________________/____________________
x = -1
```
### g) Contradomínio de g(x)
O contradomínio (codomínio) de uma função é o conjunto de todos os valores que a função pode assumir.
Para [tex]\( g(x) = \log_2(x + 1) \)[/tex]:
- Quando [tex]\( x \)[/tex] tende a infinito, [tex]\( g(x) \)[/tex] também tende a infinito ([tex]\( \log_2(x + 1) \to \infty \)[/tex]).
- Quando [tex]\( x = 0 \)[/tex], [tex]\( g(x) = \log_2(1) = 0 \)[/tex].
- Não existe valor de [tex]\( g(x) \)[/tex] que seja negativo porque [tex]\( \log_2 \)[/tex] de um número positivo é sempre não-negativo.
Portanto, o contradomínio de [tex]\( g(x) \)[/tex] é [tex]\([0, \infty)\)[/tex].
### h) Zero da Função g(x)
O zero de uma função é o valor de [tex]\( x \)[/tex] para o qual a função assume o valor zero.
Para encontrar o zero de [tex]\( g(x) = \log_2(x + 1) \)[/tex]:
- [tex]\( g(x) = 0 \)[/tex]
- [tex]\( \log_2(x + 1) = 0 \)[/tex]
- Uma função logarítmica é igual a zero quando seu argumento é igual a 1: [tex]\( x + 1 = 2^0 \)[/tex]
- [tex]\( x + 1 = 1 \)[/tex]
- [tex]\( x = 0 \)[/tex]
Portanto, o zero da função é [tex]\( x = 0 \)[/tex].
### i) Equação da Assíntota
A assíntota é uma linha que a função se aproxima mas nunca toca. No caso da função logarítmica [tex]\( \log_2(x + 1) \)[/tex], observamos o seguinte:
- À medida que [tex]\( x \)[/tex] se aproxima de [tex]\( -1 \)[/tex] a partir da direita, [tex]\( g(x) \)[/tex] se aproxima de [tex]\( -\infty \)[/tex].
- Portanto, existe uma assíntota vertical em [tex]\( x = -1 \)[/tex].
A equação da assíntota é [tex]\( x = -1 \)[/tex].
### j) Estudo da Variação da Função
Para o estudo da variação da função, verificamos como a função se comporta em termos de aumento e diminuição:
- A função [tex]\( g(x) = \log_2(x + 1) \)[/tex] é estritamente crescente para todo [tex]\( x \)[/tex] maior que [tex]\( -1 \)[/tex].
- Verificamos isso porque a derivada de [tex]\( \log_2(x + 1) \)[/tex] é positiva para [tex]\( x > -1 \)[/tex].
Portanto, a variação da função é:
- Crescente para todos os [tex]\( x > -1 \)[/tex].
Assim, concluímos a análise detalhada da função [tex]\( g(x) = \log_2(x + 1) \)[/tex].
