Para resolver este problema, vamos seguir um passo a passo detalhado.
Vamos denotar as idades de Gerson como [tex]\( x \)[/tex] e a idade de Lúcia como [tex]\( y \)[/tex].
1. Definir a razão entre suas idades:
[tex]\[
\frac{x}{y} = \frac{13}{4}
\][/tex]
Isso significa que a idade de Gerson é 13/4 vezes a idade de Lúcia.
2. Expressar [tex]\(x\)[/tex] em termos de [tex]\(y\)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{13}{4} y
\][/tex]
3. Considerar a soma das idades:
[tex]\[
x + y = 68
\][/tex]
4. Substituir a expressão de [tex]\(x\)[/tex] na equação da soma:
[tex]\[
\frac{13}{4} y + y = 68
\][/tex]
5. Combinar os termos semelhantes:
[tex]\[
\frac{13y + 4y}{4} = 68
\][/tex]
[tex]\[
\frac{17y}{4} = 68
\][/tex]
6. Multiplicar ambos os lados por 4 para limpar a fração:
[tex]\[
17y = 68 \times 4
\][/tex]
[tex]\[
17y = 272
\][/tex]
7. Dividir ambos os lados por 17 para resolver para [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[
y = \frac{272}{17}
\][/tex]
[tex]\[
y = 16
\][/tex]
A idade de Lúcia é [tex]\( 16 \)[/tex] anos.
8. Calcular a idade de Gerson utilizando a razão definida no início:
[tex]\[
x = \frac{13}{4} \times 16
\][/tex]
[tex]\[
x = 13 \times 4
\][/tex]
[tex]\[
x = 52
\][/tex]
A idade de Gerson é [tex]\( 52 \)[/tex] anos.
Portanto, as idades de Gerson e Lúcia são [tex]\( 52 \)[/tex] anos e [tex]\( 16 \)[/tex] anos, respectivamente.
