Vamos resolver o problema passo a passo.
### Passo 1: Estabelecer as razões
Começamos com as seguintes proporções fornecidas:
[tex]\[
\frac{a}{2} = \frac{b}{4} = \frac{c}{3}
\][/tex]
Podemos considerar que essas razões são iguais a uma constante [tex]\(k\)[/tex]. Portanto, temos:
[tex]\[
\frac{a}{2} = k \implies a = 2k
\][/tex]
[tex]\[
\frac{b}{4} = k \implies b = 4k
\][/tex]
[tex]\[
\frac{c}{3} = k \implies c = 3k
\][/tex]
### Passo 2: Substituir essas expressões na equação da soma
Sabemos que:
[tex]\[
a + b + c = 72
\][/tex]
Substituindo [tex]\(a = 2k\)[/tex], [tex]\(b = 4k\)[/tex] e [tex]\(c = 3k\)[/tex] na equação, temos:
[tex]\[
2k + 4k + 3k = 72
\][/tex]
### Passo 3: Resolver a equação para [tex]\(k\)[/tex]
Somamos os termos semelhantes:
[tex]\[
9k = 72
\][/tex]
Dividimos ambos os lados da equação por 9 para encontrar [tex]\(k\)[/tex]:
[tex]\[
k = \frac{72}{9} = 8
\][/tex]
### Passo 4: Encontrar os valores de [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] e [tex]\(c\)[/tex]
Agora que sabemos que [tex]\(k = 8\)[/tex], substituímos [tex]\(k\)[/tex] de volta nas expressões para [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] e [tex]\(c\)[/tex]:
[tex]\[
a = 2k = 2 \cdot 8 = 16
\][/tex]
[tex]\[
b = 4k = 4 \cdot 8 = 32
\][/tex]
[tex]\[
c = 3k = 3 \cdot 8 = 24
\][/tex]
### Conclusão
Os valores de [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] e [tex]\(c\)[/tex] são:
[tex]\[
a = 16, \quad b = 32, \quad c = 24
\][/tex]
