Answer :
Claro, vamos a resolver cada una de las expresiones paso a paso:
### 1. \&. [tex]$\underbrace{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \ldots \cdot \sqrt{x}}_{8 \text { factores }}$[/tex]
Observamos que tenemos la raíz cuadrada de x repetida 8 veces:
[tex]\[ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \ldots \cdot \sqrt{x} \quad (8 \text{ veces}) \][/tex]
Usando la propiedad de las raíces, podemos escribir:
[tex]\[ (\sqrt{x})^8 \][/tex]
Sabemos que [tex]$\sqrt{x}$[/tex] puede ser escrito como [tex]$x^{1/2}$[/tex]. Entonces:
[tex]\[ (x^{1/2})^8 \][/tex]
Ahora aplicamos la propiedad de los exponentes [tex]$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$[/tex]:
[tex]\[ x^{(1/2) \cdot 8} = x^4 \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ \underbrace{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \ldots \cdot \sqrt{x}}_{8 \text { factores }} = x^4 \][/tex]
### 2. [tex]$\sqrt[2]{\sqrt[b]{x^{4 a b}}}$[/tex]
Empezamos simplificando desde el interior hacia el exterior. Primero, observamos la raíz b-ésima:
[tex]\[ \sqrt[b]{x^{4ab}} \][/tex]
Esto se puede reescribir como:
[tex]\[ (x^{4ab})^{1/b} \][/tex]
Aplicamos la propiedad de los exponentes [tex]$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$[/tex]:
[tex]\[ x^{4ab \cdot \frac{1}{b}} = x^{4a} \][/tex]
Luego, aplicamos la segunda raíz cuadrada:
[tex]\[ \sqrt[2]{x^{4a}} = (x^{4a})^{1/2} \][/tex]
De nuevo aplicamos la propiedad de los exponentes:
[tex]\[ x^{4a \cdot \frac{1}{2}} = x^{2a} \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ \sqrt[2]{\sqrt[b]{x^{4 a b}}} = x^{2a} \][/tex]
### 3. [tex]$\sqrt[3]{x^{3+2} \cdot x^{2+4a}}$[/tex]
Primero, simplificamos el exponente interno combinando las potencias con la misma base:
[tex]\[ x^{3+2} \cdot x^{2+4a} \][/tex]
Usando la propiedad de los exponentes [tex]$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$[/tex], combinamos los exponentes:
[tex]\[ x^{(3+2) + (2+4a)} = x^{5 + 2 + 4a} = x^{7 + 4a} \][/tex]
Luego, aplicamos la raíz cúbica:
[tex]\[ \sqrt[3]{x^{7+4a}} = (x^{7+4a})^{1/3} \][/tex]
Usamos la propiedad de los exponentes:
[tex]\[ x^{(7+4a) \cdot \frac{1}{3}} = x^{(7+4a)/3} \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ \sqrt[3]{x^{3+2} \cdot x^{2+4a}} = x^{(7+4a)/3} \][/tex]
### 4. [tex]$\left(x^3, x^{-4}\right)^2 \div x^6$[/tex]
Primero, resolvemos el término dentro de los paréntesis:
[tex]\[ x^3 \cdot x^{-4} \][/tex]
Usando la propiedad de los exponentes [tex]$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$[/tex]:
[tex]\[ x^{3 + (-4)} = x^{-1} \][/tex]
Luego, elevamos al cuadrado:
[tex]\[ (x^{-1})^2 \][/tex]
Usamos la propiedad de los exponentes [tex]$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$[/tex]:
[tex]\[ x^{-1 \cdot 2} = x^{-2} \][/tex]
Finalmente, dividimos por [tex]$x^6$[/tex]:
[tex]\[ x^{-2} \div x^6 \][/tex]
Usamos la propiedad de los exponentes [tex]$a^m \div a^n = a^{m-n}$[/tex]:
[tex]\[ x^{-2 - 6} = x^{-8} \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ \left(x^3 \cdot x^{-4}\right)^2 \div x^6 = x^{-8} \][/tex]
En resumen, las soluciones para las expresiones son:
1. \& [tex]$\underbrace{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \ldots \cdot \sqrt{x}}_{8 \text { factores }} = x^4$[/tex]
2. [tex]$\sqrt[2]{\sqrt[b]{x^{4 a b}}} = x^{2a}$[/tex]
3. [tex]$\sqrt[3]{x^{3+2} \cdot x^{2+4 a}} = x^{(7+4a)/3}$[/tex]
4. \& [tex]$\left(x^3 \cdot x^{-4}\right)^2 \div x^6 = x^{-8}$[/tex]
### 1. \&. [tex]$\underbrace{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \ldots \cdot \sqrt{x}}_{8 \text { factores }}$[/tex]
Observamos que tenemos la raíz cuadrada de x repetida 8 veces:
[tex]\[ \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \ldots \cdot \sqrt{x} \quad (8 \text{ veces}) \][/tex]
Usando la propiedad de las raíces, podemos escribir:
[tex]\[ (\sqrt{x})^8 \][/tex]
Sabemos que [tex]$\sqrt{x}$[/tex] puede ser escrito como [tex]$x^{1/2}$[/tex]. Entonces:
[tex]\[ (x^{1/2})^8 \][/tex]
Ahora aplicamos la propiedad de los exponentes [tex]$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$[/tex]:
[tex]\[ x^{(1/2) \cdot 8} = x^4 \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ \underbrace{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \ldots \cdot \sqrt{x}}_{8 \text { factores }} = x^4 \][/tex]
### 2. [tex]$\sqrt[2]{\sqrt[b]{x^{4 a b}}}$[/tex]
Empezamos simplificando desde el interior hacia el exterior. Primero, observamos la raíz b-ésima:
[tex]\[ \sqrt[b]{x^{4ab}} \][/tex]
Esto se puede reescribir como:
[tex]\[ (x^{4ab})^{1/b} \][/tex]
Aplicamos la propiedad de los exponentes [tex]$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$[/tex]:
[tex]\[ x^{4ab \cdot \frac{1}{b}} = x^{4a} \][/tex]
Luego, aplicamos la segunda raíz cuadrada:
[tex]\[ \sqrt[2]{x^{4a}} = (x^{4a})^{1/2} \][/tex]
De nuevo aplicamos la propiedad de los exponentes:
[tex]\[ x^{4a \cdot \frac{1}{2}} = x^{2a} \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ \sqrt[2]{\sqrt[b]{x^{4 a b}}} = x^{2a} \][/tex]
### 3. [tex]$\sqrt[3]{x^{3+2} \cdot x^{2+4a}}$[/tex]
Primero, simplificamos el exponente interno combinando las potencias con la misma base:
[tex]\[ x^{3+2} \cdot x^{2+4a} \][/tex]
Usando la propiedad de los exponentes [tex]$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$[/tex], combinamos los exponentes:
[tex]\[ x^{(3+2) + (2+4a)} = x^{5 + 2 + 4a} = x^{7 + 4a} \][/tex]
Luego, aplicamos la raíz cúbica:
[tex]\[ \sqrt[3]{x^{7+4a}} = (x^{7+4a})^{1/3} \][/tex]
Usamos la propiedad de los exponentes:
[tex]\[ x^{(7+4a) \cdot \frac{1}{3}} = x^{(7+4a)/3} \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ \sqrt[3]{x^{3+2} \cdot x^{2+4a}} = x^{(7+4a)/3} \][/tex]
### 4. [tex]$\left(x^3, x^{-4}\right)^2 \div x^6$[/tex]
Primero, resolvemos el término dentro de los paréntesis:
[tex]\[ x^3 \cdot x^{-4} \][/tex]
Usando la propiedad de los exponentes [tex]$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$[/tex]:
[tex]\[ x^{3 + (-4)} = x^{-1} \][/tex]
Luego, elevamos al cuadrado:
[tex]\[ (x^{-1})^2 \][/tex]
Usamos la propiedad de los exponentes [tex]$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$[/tex]:
[tex]\[ x^{-1 \cdot 2} = x^{-2} \][/tex]
Finalmente, dividimos por [tex]$x^6$[/tex]:
[tex]\[ x^{-2} \div x^6 \][/tex]
Usamos la propiedad de los exponentes [tex]$a^m \div a^n = a^{m-n}$[/tex]:
[tex]\[ x^{-2 - 6} = x^{-8} \][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[ \left(x^3 \cdot x^{-4}\right)^2 \div x^6 = x^{-8} \][/tex]
En resumen, las soluciones para las expresiones son:
1. \& [tex]$\underbrace{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} \cdot \ldots \cdot \sqrt{x}}_{8 \text { factores }} = x^4$[/tex]
2. [tex]$\sqrt[2]{\sqrt[b]{x^{4 a b}}} = x^{2a}$[/tex]
3. [tex]$\sqrt[3]{x^{3+2} \cdot x^{2+4 a}} = x^{(7+4a)/3}$[/tex]
4. \& [tex]$\left(x^3 \cdot x^{-4}\right)^2 \div x^6 = x^{-8}$[/tex]
