Para resolver la ecuación [tex]\( 5^x + 5^{x+1} + 5^{x+2} = 155 \)[/tex], sigamos los siguientes pasos:
1. Simplificación de la Ecuación:
Vamos a expresar todos los términos en la ecuación en función de [tex]\( 5^x \)[/tex]:
[tex]\[
5^x + 5^{x+1} + 5^{x+2} = 155
\][/tex]
2. Factorización de Términos:
Reconocemos que:
[tex]\[
5^{x+1} = 5 \cdot 5^x \qquad \text{y} \qquad 5^{x+2} = 5^2 \cdot 5^x
\][/tex]
Entonces, podemos reescribir la ecuación como:
[tex]\[
5^x + 5 \cdot 5^x + 25 \cdot 5^x = 155
\][/tex]
3. Agrupación de Factores Comunes:
Factorizamos [tex]\( 5^x \)[/tex] de cada término del lado izquierdo de la ecuación:
[tex]\[
5^x (1 + 5 + 25) = 155
\][/tex]
Simplificamos los términos dentro del paréntesis:
[tex]\[
5^x (31) = 155
\][/tex]
4. Resolución de la Ecuación:
Dividimos ambos lados de la ecuación entre 31 para aislar [tex]\( 5^x \)[/tex]:
[tex]\[
5^x = \frac{155}{31}
\][/tex]
Calculamos la división:
[tex]\[
5^x = 5
\][/tex]
5. Solución de Exponente:
Reconocemos que [tex]\( 5^1 = 5 \)[/tex]. Por lo tanto, [tex]\( x \)[/tex] debe ser igual a 1:
[tex]\[
x = 1
\][/tex]
6. Verificación:
Si comprobamos nuestra solución:
[tex]\[
5^1 + 5^2 + 5^3 = 5 + 25 + 125 = 155
\][/tex]
La igualdad se cumple, así que la solución es correcta.
Entonces, la respuesta correcta es:
e) 1
