Claro, vamos a simplificar la expresión:
[tex]\[
\ln \left(\frac{\sqrt[3]{x^2 + 4} \cdot (x - 3) \cdot (x^5 - 8)}{(x^5 + 4) \cdot (x - 2)^8}\right)
\][/tex]
Se puede descomponer en pasos y usar las propiedades de los logaritmos para simplificar esta expresión.
1. Propiedad del logaritmo del cociente:
[tex]\[
\ln \left(\frac{A}{B}\right) = \ln(A) - \ln(B)
\][/tex]
Aplicando esta propiedad tenemos:
[tex]\[
\ln \left(\frac{\sqrt[3]{x^2 + 4} \cdot (x - 3) \cdot (x^5 - 8)}{(x^5 + 4) \cdot (x - 2)^8}\right) = \ln(\sqrt[3]{x^2 + 4} \cdot (x - 3) \cdot (x^5 - 8)) - \ln((x^5 + 4) \cdot (x - 2)^8)
\][/tex]
2. Propiedad del logaritmo del producto:
[tex]\[
\ln(A \cdot B) = \ln(A) + \ln(B)
\][/tex]
Aplicando esta propiedad al numerador y al denominador tenemos:
[tex]\[
\ln(\sqrt[3]{x^2 + 4} \cdot (x - 3) \cdot (x^5 - 8)) = \ln(\sqrt[3]{x^2 + 4}) + \ln(x - 3) + \ln(x^5 - 8)
\][/tex]
[tex]\[
\ln((x^5 + 4) \cdot (x - 2)^8) = \ln(x^5 + 4) + \ln((x - 2)^8)
\][/tex]
3. Propiedad del logaritmo de una potencia:
[tex]\[
\ln(A^B) = B \cdot \ln(A)
\][/tex]
Donde [tex]\(A\)[/tex] es la base y [tex]\(B\)[/tex] es el exponente. Aplicando esta propiedad tenemos:
[tex]\[
\ln(\sqrt[3]{x^2 + 4}) = \ln((x^2 + 4)^{1/3}) = \frac{1}{3} \ln(x^2 + 4)
\][/tex]
[tex]\[
\ln((x - 2)^8) = 8 \ln(x - 2)
\][/tex]
4. Sustituyendo todas las simplificaciones obtenidas:
[tex]\[
\ln\left(\frac{\sqrt[3]{x^2 + 4} \cdot (x - 3) \cdot (x^5 - 8)}{(x^5 + 4) \cdot (x - 2)^8}\right) = \left(\frac{1}{3} \ln(x^2 + 4) + \ln(x - 3) + \ln(x^5 - 8)\right) - \left(\ln(x^5 + 4) + 8 \ln(x - 2)\right)
\][/tex]
5. Finalmente, combinamos todos los términos juntos:
[tex]\[
\frac{1}{3} \ln(x^2 + 4) + \ln(x - 3) + \ln(x^5 - 8) - \ln(x^5 + 4) - 8 \ln(x - 2)
\][/tex]
Por lo tanto, la expresión simplificada es:
[tex]\[
\ln \left(\frac{(x - 3)(x^2 + 4)^{1/3}(x^5 - 8)}{(x^5 + 4)(x - 2)^8}\right)
\][/tex]
