Untuk menentukan nilai [tex]\( x \)[/tex] yang memenuhi persamaan [tex]\[
9^{3x + 2} = 27,
\][/tex]
kita akan menyelesaikannya dengan langkah-langkah sebagai berikut:
1. Ubah 9 dan 27 menjadi bilangan dengan basis yang sama:
Kita ingat bahwa [tex]\( 9 = 3^2 \)[/tex] dan [tex]\( 27 = 3^3 \)[/tex]. Jadi kita dapat menulis ulang persamaan dengan basis 3:
[tex]\[
(3^2)^{3x + 2} = 3^3.
\][/tex]
2. Gunakan aturan eksponen [tex]\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)[/tex]:
Terapkan aturan tersebut ke persamaan di atas:
[tex]\[
3^{2(3x + 2)} = 3^3.
\][/tex]
3. Sederhanakan eksponen:
[tex]\[
3^{6x + 4} = 3^3.
\][/tex]
4. Karena basisnya sama, kita dapat mengatur eksponennya sama:
Ini memberi kita:
[tex]\[
6x + 4 = 3.
\][/tex]
5. Selesaikan persamaan liniar untuk [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
6x + 4 = 3.
\][/tex]
Kurangi 4 dari kedua sisi:
[tex]\[
6x = -1.
\][/tex]
Bagilah kedua sisi dengan 6:
[tex]\[
x = -\frac{1}{6}.
\][/tex]
6. Pertimbangkan solusi kompleks:
Dalam konteks penyelesaian persamaan eksponensial, kita tidak hanya menemukan solusi riil tetapi juga kompleks. Dengan menggunakan bilangan kompleks, solusi lain dapat muncul.
Tetapi dalam konteks ini, kita dapat menyederhanakan bahwa solusi riil utama adalah:
[tex]\[
x = -\frac{1}{6}.
\][/tex]
Namun, sebenarnya ada lebih banyak solusi kompleks yang juga memenuhi persamaan ini, yang dapat kita tuliskan sebagai berikut:
[tex]\[
x_1 = -\frac{1}{6}, \quad x_2 = \frac{-\ln(3) - 4i \pi}{6\ln(3)}, \quad x_3 = \frac{-\ln(3) + 4i \pi}{6\ln(3)}, \quad x_4 = -\frac{1}{6} - \frac{i \pi}{3 \ln(3)}, \quad x_5 = -\frac{1}{6} + \frac{i \pi}{3 \ln(3)}, \quad x_6 = -\frac{1}{6} + \frac{i \pi}{\ln(3)}.
\][/tex]
Jadi, nilai [tex]\( x \)[/tex] yang memenuhi persamaan [tex]\( 9^{3x + 2} = 27 \)[/tex] adalah [tex]\( x = -\frac{1}{6} \)[/tex] dan beberapa solusi kompleks [tex]\( x_1 , x_2, x_3, x_4, x_5, \)[/tex], dan [tex]\( x_6 \)[/tex].
