Answer :
Claro, vamos a analizar cada igualdad por separado para determinar si es verdadera o falsa.
### Primera Igualdad:
[tex]\[ -\left(x^2 + \frac{1}{4}\right)\left(x^2 - \frac{3}{4}\right) = x^4 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{16} \][/tex]
Para verificar esta igualdad, expandimos el lado izquierdo de la ecuación:
[tex]\[ -\left(x^2 + \frac{1}{4}\right)\left(x^2 - \frac{3}{4}\right) = -\left(x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) + \frac{1}{4} \cdot x^2 + \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\right) \][/tex]
[tex]\[ = -\left(x^4 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{16}\right) = -\left(x^4 - \frac{2}{4}x^2 - \frac{3}{16}\right) = -\left(x^4 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{16} \right) \][/tex]
[tex]\[ = -x^4 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{16} \][/tex]
Comparando esto con el lado derecho:
[tex]\[ x^4 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{16} \][/tex]
Está claro que al comparar:
[tex]\[ -x^4 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{16} \neq x^4 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{16} \][/tex]
Entonces, la primera igualdad es falsa (f).
### Segunda Igualdad:
[tex]\[ -\left(x^5 + \frac{3}{5}\right)\left(x^5 + \frac{1}{10}\right) = x^{10} + \frac{3}{50} \][/tex]
Para verificar esta igualdad, expandimos el lado izquierdo de la ecuación:
[tex]\[ -\left(x^5 + \frac{3}{5}\right)\left(x^5 + \frac{1}{10}\right) = -\left(x^5 \cdot x^5 + x^5 \cdot \frac{1}{10} + \frac{3}{5} \cdot x^5 + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{10}\right) \][/tex]
[tex]\[ = -\left(x^{10} + \frac{1}{10}x^5 + \frac{3}{5}x^5 + \frac{3}{50}\right) = -\left(x^{10} + \left(\frac{1}{10} + \frac{3}{5}\right)x^5 + \frac{3}{50}\right) = -\left(x^{10} + \frac{7}{10}x^5 + \frac{3}{50}\right) \][/tex]
[tex]\[ = -x^{10} - \frac{7}{10}x^5 - \frac{3}{50} \][/tex]
Comparando esto con el lado derecho:
[tex]\[ x^{10} + \frac{3}{50} \][/tex]
Claramente,
[tex]\[ -x^{10} - \frac{7}{10}x^5 - \frac{3}{50} \neq x^{10} + \frac{3}{50} \][/tex]
Entonces, la segunda igualdad también es falsa (f).
### Tercera Igualdad:
[tex]\[ -\left(\frac{1}{2}x^3 + \frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{4}x^6 + \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{4} \][/tex]
Para verificar esta igualdad, expandimos el lado izquierdo de la ecuación:
[tex]\[ \left(\frac{1}{2}x^3 + \frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{6}\right) = \left(\frac{1}{2}x^3 \cdot \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x^3 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}x^3 + \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)\right) \][/tex]
[tex]\[ = \left(\frac{1}{4}x^6 - \frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{18}\right) = \left(\frac{1}{4}x^6 + \frac{2}{12}x^3 - \frac{1}{9}\right) = \left(\frac{1}{4}x^6 + \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{9}\right) \][/tex]
Comparando esto con el lado derecho:
[tex]\[ \frac{1}{4}x^6 + \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{4} \][/tex]
Al comparar:
[tex]\[ \frac{1}{4}x^6 + \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{9} \neq \frac{1}{4}x^6 + \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{4} \][/tex]
Por lo tanto, la tercera igualdad es falsa (f).
Así, los resultados para todas las igualdades son:
1. [tex]\(\text{f}\)[/tex]
2. [tex]\(\text{f}\)[/tex]
3. [tex]\(\text{f}\)[/tex]
### Primera Igualdad:
[tex]\[ -\left(x^2 + \frac{1}{4}\right)\left(x^2 - \frac{3}{4}\right) = x^4 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{16} \][/tex]
Para verificar esta igualdad, expandimos el lado izquierdo de la ecuación:
[tex]\[ -\left(x^2 + \frac{1}{4}\right)\left(x^2 - \frac{3}{4}\right) = -\left(x^2 \cdot x^2 + x^2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) + \frac{1}{4} \cdot x^2 + \frac{1}{4} \cdot \left(-\frac{3}{4}\right)\right) \][/tex]
[tex]\[ = -\left(x^4 - \frac{3}{4}x^2 + \frac{1}{4}x^2 - \frac{3}{16}\right) = -\left(x^4 - \frac{2}{4}x^2 - \frac{3}{16}\right) = -\left(x^4 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{16} \right) \][/tex]
[tex]\[ = -x^4 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{16} \][/tex]
Comparando esto con el lado derecho:
[tex]\[ x^4 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{16} \][/tex]
Está claro que al comparar:
[tex]\[ -x^4 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{3}{16} \neq x^4 - \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{16} \][/tex]
Entonces, la primera igualdad es falsa (f).
### Segunda Igualdad:
[tex]\[ -\left(x^5 + \frac{3}{5}\right)\left(x^5 + \frac{1}{10}\right) = x^{10} + \frac{3}{50} \][/tex]
Para verificar esta igualdad, expandimos el lado izquierdo de la ecuación:
[tex]\[ -\left(x^5 + \frac{3}{5}\right)\left(x^5 + \frac{1}{10}\right) = -\left(x^5 \cdot x^5 + x^5 \cdot \frac{1}{10} + \frac{3}{5} \cdot x^5 + \frac{3}{5} \cdot \frac{1}{10}\right) \][/tex]
[tex]\[ = -\left(x^{10} + \frac{1}{10}x^5 + \frac{3}{5}x^5 + \frac{3}{50}\right) = -\left(x^{10} + \left(\frac{1}{10} + \frac{3}{5}\right)x^5 + \frac{3}{50}\right) = -\left(x^{10} + \frac{7}{10}x^5 + \frac{3}{50}\right) \][/tex]
[tex]\[ = -x^{10} - \frac{7}{10}x^5 - \frac{3}{50} \][/tex]
Comparando esto con el lado derecho:
[tex]\[ x^{10} + \frac{3}{50} \][/tex]
Claramente,
[tex]\[ -x^{10} - \frac{7}{10}x^5 - \frac{3}{50} \neq x^{10} + \frac{3}{50} \][/tex]
Entonces, la segunda igualdad también es falsa (f).
### Tercera Igualdad:
[tex]\[ -\left(\frac{1}{2}x^3 + \frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{6}\right) = \frac{1}{4}x^6 + \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{4} \][/tex]
Para verificar esta igualdad, expandimos el lado izquierdo de la ecuación:
[tex]\[ \left(\frac{1}{2}x^3 + \frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{6}\right) = \left(\frac{1}{2}x^3 \cdot \frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x^3 \cdot \left(-\frac{1}{6}\right) + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}x^3 + \frac{2}{3} \cdot \left(-\frac{1}{6}\right)\right) \][/tex]
[tex]\[ = \left(\frac{1}{4}x^6 - \frac{1}{12}x^3 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{2}{18}\right) = \left(\frac{1}{4}x^6 + \frac{2}{12}x^3 - \frac{1}{9}\right) = \left(\frac{1}{4}x^6 + \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{9}\right) \][/tex]
Comparando esto con el lado derecho:
[tex]\[ \frac{1}{4}x^6 + \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{4} \][/tex]
Al comparar:
[tex]\[ \frac{1}{4}x^6 + \frac{1}{6}x^3 - \frac{1}{9} \neq \frac{1}{4}x^6 + \frac{1}{2}x^3 - \frac{1}{4} \][/tex]
Por lo tanto, la tercera igualdad es falsa (f).
Así, los resultados para todas las igualdades son:
1. [tex]\(\text{f}\)[/tex]
2. [tex]\(\text{f}\)[/tex]
3. [tex]\(\text{f}\)[/tex]
