Para encontrar las coordenadas del punto [tex]\(P(x, y)\)[/tex] que divide el segmento determinado por los puntos [tex]\(P_1(x_1, y_1)\)[/tex] y [tex]\(P_2(x_2, y_2)\)[/tex] según una razón [tex]\(r\)[/tex], se utiliza la fórmula para las coordenadas del punto de división. Dado que [tex]\(P_1\)[/tex] tiene las coordenadas [tex]\((x_1, y_1) = (5, -8)\)[/tex] y [tex]\(P_2\)[/tex] tiene las coordenadas [tex]\((x_2, y_2) = (11, 4)\)[/tex], y sabemos que [tex]\(r = \frac{1}{2}\)[/tex], podemos proceder de la siguiente manera:
1. Fórmula para las coordenadas del punto que divide un segmento:
[tex]\[
\begin{align*}
P_x &= \frac{x_1 + r \cdot x_2}{1 + r}, \\
P_y &= \frac{y_1 + r \cdot y_2}{1 + r}.
\end{align*}
\][/tex]
2. Sustitución de los valores conocidos:
[tex]\[
\begin{align*}
P_x &= \frac{5 + \left(\frac{1}{2} \cdot 11\right)}{1 + \frac{1}{2}}, \\
P_y &= \frac{-8 + \left(\frac{1}{2} \cdot 4\right)}{1 + \frac{1}{2}}.
\end{align*}
\][/tex]
3. Calculo del denominador:
[tex]\[
1 + \frac{1}{2} = \frac{2}{2} + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}.
\][/tex]
4. Calculo del numerador para [tex]\(P_x\)[/tex]:
[tex]\[
5 + \left(\frac{1}{2} \cdot 11\right) = 5 + \frac{11}{2} = 5 + 5.5 = 10.5.
\][/tex]
5. Calculo del valor de [tex]\(P_x\)[/tex]:
[tex]\[
P_x = \frac{10.5}{\frac{3}{2}} = 10.5 \cdot \frac{2}{3} = 7.
\][/tex]
6. Calculo del numerador para [tex]\(P_y\)[/tex]:
[tex]\[
-8 + \left(\frac{1}{2} \cdot 4\right) = -8 + 2 = -6.
\][/tex]
7. Calculo del valor de [tex]\(P_y\)[/tex]:
[tex]\[
P_y = \frac{-6}{\frac{3}{2}} = -6 \cdot \frac{2}{3} = -4.
\][/tex]
8. Conclusión:
Las coordenadas del punto [tex]\(P\)[/tex] que divide el segmento entre [tex]\(P_1(5, -8)\)[/tex] y [tex]\(P_2(11, 4)\)[/tex] según la razón [tex]\(r = \frac{1}{2}\)[/tex] son:
[tex]\[
(P_x, P_y) = (7, -4).
\][/tex]
