Para resolver el ejercicio [tex]\(\sqrt{\frac{6^{12}}{6^4}}\)[/tex], seguiremos un enfoque paso a paso utilizando las propiedades de los exponentes y las raíces cuadradas.
1. Propiedad de los exponentes en fracciones: Cuando tenemos una fracción de potencias con la misma base, podemos restar los exponentes. Así que podemos escribir:
[tex]\[
\frac{6^{12}}{6^4} = 6^{12 - 4}
\][/tex]
2. Simplificar los exponentes: Restamos los exponentes:
[tex]\[
12 - 4 = 8
\][/tex]
Así que tenemos:
[tex]\[
\frac{6^{12}}{6^4} = 6^8
\][/tex]
3. Aplicar la raíz cuadrada: La raíz cuadrada de una potencia se puede simplificar al dividir el exponente entre 2. Entonces, tenemos:
[tex]\[
\sqrt{6^8} = (6^8)^{1/2} = 6^{8/2}
\][/tex]
4. Simplificar el exponente nuevamente: Dividimos 8 entre 2:
[tex]\[
8 / 2 = 4
\][/tex]
Así que la expresión se convierte en:
[tex]\[
6^{4}
\][/tex]
5. Calcular el valor final: Elevamos 6 a la potencia de 4:
[tex]\[
6^{4} = 6 \times 6 \times 6 \times 6 = 1296
\][/tex]
Por lo tanto, el resultado de la expresión original [tex]\(\sqrt{\frac{6^{12}}{6^4}}\)[/tex] es [tex]\(1296\)[/tex].
Entonces,
[tex]\[
\sqrt{\frac{6^{12}}{6^4}}= 1296
\][/tex]
Notemos también que, en todo el proceso, simplificamos el exponente intermedio a [tex]\(4\)[/tex]. Así, estos pasos también nos llevan a concluir que el exponente simplificado es [tex]\(4\)[/tex].
