Para determinar a derivada da função [tex]\( f(x) = x^9 + 3x + i \)[/tex], usaremos as regras de derivação. A função contém termos com [tex]\( x \)[/tex] e um número complexo [tex]\( i \)[/tex] (a unidade imaginária). Vamos derivar cada componente da função separadamente e somar os resultados.
1. Termo [tex]\( x^9 \)[/tex]:
- A regra de derivação para [tex]\( x^n \)[/tex] é [tex]\( n \cdot x^{n-1} \)[/tex].
- Aplicando essa regra, a derivada de [tex]\( x^9 \)[/tex] é:
[tex]\[
\frac{d}{dx}(x^9) = 9x^8
\][/tex]
2. Termo [tex]\( 3x \)[/tex]:
- A regra de derivação para o termo linear [tex]\( ax \)[/tex] é [tex]\( a \)[/tex].
- Então, a derivada de [tex]\( 3x \)[/tex] é:
[tex]\[
\frac{d}{dx}(3x) = 3
\][/tex]
3. Termo [tex]\( i \)[/tex] (número complexo constante):
- A derivada de uma constante é sempre zero.
- Portanto, a derivada de [tex]\( i \)[/tex] é:
[tex]\[
\frac{d}{dx}(i) = 0
\][/tex]
Somando todas essas partes, obtemos a derivada total da função:
[tex]\[
f^{\prime}(x) = 9x^8 + 3 + 0 = 9x^8 + 3
\][/tex]
Portanto, a alternativa correta é:
e. [tex]\( f^{\prime}(x) = 9x^8 + 3 \)[/tex]
