Para resolver essa questão, vamos calcular as derivadas parciais da função [tex]\( f(x, y) = x^5 + x^{11} + y^6 - y^2 + 1 \)[/tex] em relação às variáveis [tex]\( x \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex].
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de [tex]\( f \)[/tex] em relação a [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (x^5 + x^{11} + y^6 - y^2 + 1)
\][/tex]
Os termos contendo [tex]\( y \)[/tex] e [tex]\( 1 \)[/tex] são constantes quando derivamos em relação a [tex]\( x \)[/tex], então só precisamos nos preocupar com [tex]\( x^5 \)[/tex] e [tex]\( x^{11} \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{\partial f}{\partial x} = 5x^4 + 11x^{10}
\][/tex]
Agora, vamos encontrar a derivada parcial de [tex]\( f \)[/tex] em relação a [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (x^5 + x^{11} + y^6 - y^2 + 1)
\][/tex]
Os termos contendo [tex]\( x \)[/tex] e [tex]\( 1 \)[/tex] são constantes quando derivamos em relação a [tex]\( y \)[/tex], então só precisamos nos preocupar com [tex]\( y^6 \)[/tex] e [tex]\( y^2 \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{\partial f}{\partial y} = 6y^5 - 2y
\][/tex]
Para encontrar a derivada total [tex]\( f'(x, y) \)[/tex], somamos as derivadas parciais:
[tex]\[
f'(x, y) = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} = (5x^4 + 11x^{10}) + (6y^5 - 2y)
\][/tex]
[tex]\[
f'(x, y) = 5x^4 + 11x^{10} + 6y^5 - 2y
\][/tex]
Com isso, podemos verificar a alternativa correta:
c. [tex]\( f'(x) = 5x^4 + 11x^{10} + 6y^5 - 2y \)[/tex]
Logo, a alternativa correta é:
d. [tex]\( f'(x) = 5x^4 + 11x^{10} + 6y^5 - 2y \)[/tex]
