Para encontrar a derivada da função [tex]\( f(x) = 2x^7 + 8x^{11} + 2x^6 - 9x^2 + 13 \)[/tex], devemos aplicar a regra de derivação de potências, onde a derivada de [tex]\( ax^n \)[/tex] é [tex]\( nax^{n-1} \)[/tex].
Vamos derivar termo a termo:
1. Para o termo [tex]\( 2x^7 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx} (2x^7) = 7 \cdot 2x^{7-1} = 14x^6 \][/tex]
2. Para o termo [tex]\( 8x^{11} \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx} (8x^{11}) = 11 \cdot 8x^{11-1} = 88x^{10} \][/tex]
3. Para o termo [tex]\( 2x^6 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx} (2x^6) = 6 \cdot 2x^{6-1} = 12x^5 \][/tex]
4. Para o termo [tex]\( -9x^2 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{d}{dx} (-9x^2) = 2 \cdot (-9)x^{2-1} = -18x \][/tex]
5. O termo constante 13 não depende de [tex]\( x \)[/tex] e sua derivada é 0:
[tex]\[ \frac{d}{dx}(13) = 0 \][/tex]
Somando os termos derivados, temos:
[tex]\[ f'(x) = 14x^6 + 88x^{10} + 12x^5 - 18x \][/tex]
Portanto, a alternativa correta é:
b. [tex]\( f'(x) = 14x^6 + 88x^{10} + 12x^5 - 18x \)[/tex]
