Claro, vamos a encontrar los valores críticos de la función [tex]\( f(x) = 2x^2 - 6x + 8 \)[/tex]. A continuación te presento los pasos detallados para resolver este tipo de problema.
### Paso 1: Encontrar la derivada de la función
Primero, necesitamos encontrar la derivada de la función [tex]\( f(x) \)[/tex]. La derivada [tex]\( f'(x) \)[/tex] nos ayudará a determinar los puntos en los que la pendiente de la curva es cero, es decir, los puntos críticos.
La función que tenemos es:
[tex]\[ f(x) = 2x^2 - 6x + 8 \][/tex]
Para derivar esta función aplicamos las reglas de derivación:
[tex]\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^2 - 6x + 8) \][/tex]
Para derivar cada término, tenemos:
- [tex]\(\frac{d}{dx}(2x^2) = 4x\)[/tex]
- [tex]\(\frac{d}{dx}(-6x) = -6\)[/tex]
- [tex]\(\frac{d}{dx}(8) = 0\)[/tex]
Entonces, la derivada de la función es:
[tex]\[ f'(x) = 4x - 6 \][/tex]
### Paso 2: Encontrar los puntos críticos
Para encontrar los puntos críticos, debemos establecer la derivada igual a cero y resolver para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ f'(x) = 4x - 6 = 0 \][/tex]
Solvemos la ecuación:
[tex]\[ 4x - 6 = 0 \][/tex]
[tex]\[ 4x = 6 \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{6}{4} \][/tex]
[tex]\[ x = \frac{3}{2} \][/tex]
### Paso 3: Conclusión
El único valor crítico de la función [tex]\( f(x) = 2x^2 - 6x + 8 \)[/tex] ocurre en [tex]\( x = \frac{3}{2} \)[/tex].
Por lo tanto, el punto crítico es:
[tex]\[ x = \frac{3}{2} \][/tex]
