Para encontrar los extremos absolutos de la función [tex]\( f(x) = -x^2 + 6x \)[/tex] en el intervalo [tex]\([1, 4]\)[/tex], seguimos estos pasos:
### Paso 1: Derivar la función
Primero, encontramos la derivada de la función [tex]\( f(x) \)[/tex]:
[tex]\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 6x) = -2x + 6 \][/tex]
### Paso 2: Encontrar los puntos críticos
Para encontrar los puntos críticos, igualamos la derivada a cero y resolvemos:
[tex]\[ -2x + 6 = 0 \][/tex]
[tex]\[ -2x = -6 \][/tex]
[tex]\[ x = 3 \][/tex]
### Paso 3: Evaluar la función en los puntos críticos y en los extremos del intervalo
Necesitamos evaluar la función [tex]\( f(x) \)[/tex] en los puntos críticos y en los extremos del intervalo [tex]\([1, 4]\)[/tex].
1. Evaluamos en [tex]\( x = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ f(1) = -1^2 + 6(1) = -1 + 6 = 5 \][/tex]
2. Evaluamos en [tex]\( x = 3 \)[/tex] (punto crítico que está dentro del intervalo):
[tex]\[ f(3) = -3^2 + 6(3) = -9 + 18 = 9 \][/tex]
3. Evaluamos en [tex]\( x = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ f(4) = -4^2 + 6(4) = -16 + 24 = 8 \][/tex]
### Paso 4: Determinar los valores extremos
Comparamos los valores obtenidos en los pasos anteriores:
- [tex]\( f(1) = 5 \)[/tex]
- [tex]\( f(3) = 9 \)[/tex]
- [tex]\( f(4) = 8 \)[/tex]
El valor mínimo es [tex]\( 5 \)[/tex] en [tex]\( x = 1 \)[/tex] y el valor máximo es [tex]\( 9 \)[/tex] en [tex]\( x = 3 \)[/tex].
### Conclusión
Los extremos absolutos de la función [tex]\( f(x) = -x^2 + 6x \)[/tex] en el intervalo [tex]\([1, 4]\)[/tex] son:
- Valor mínimo absoluto: [tex]\( 5 \)[/tex] en [tex]\( x = 1 \)[/tex]
- Valor máximo absoluto: [tex]\( 9 \)[/tex] en [tex]\( x = 3 \)[/tex]
