Claro, vamos a resolver esta pregunta paso a paso utilizando el cálculo diferencial.
### Paso 1: Encuentra la primera derivada de la función
Dada la función:
[tex]\[ f(x) = -x^2 + 7x \][/tex]
Calculamos la primera derivada, [tex]\(f'(x)\)[/tex]:
[tex]\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(-x^2 + 7x) \][/tex]
[tex]\[ f'(x) = -2x + 7 \][/tex]
### Paso 2: Encuentra la segunda derivada de la función
Ahora, calculamos la segunda derivada, [tex]\(f''(x)\)[/tex]:
[tex]\[ f''(x) = \frac{d}{dx}(-2x + 7) \][/tex]
[tex]\[ f''(x) = -2 \][/tex]
### Paso 3: Análisis de la segunda derivada
La segunda derivada [tex]\( f''(x) = -2 \)[/tex] es una constante. Esto significa que su signo no cambia, independientemente del valor de [tex]\( x \)[/tex].
- Si [tex]\( f''(x) > 0 \)[/tex], la función es cóncava hacia arriba en ese intervalo.
- Si [tex]\( f''(x) < 0 \)[/tex], la función es cóncava hacia abajo en ese intervalo.
Dado que [tex]\( f''(x) = -2 \)[/tex] es siempre negativa ( [tex]\( -2 < 0 \)[/tex] ), podemos concluir que la función es cóncava hacia abajo en todo el dominio de [tex]\( f(x) \)[/tex].
### Conclusión
La función [tex]\( f(x) = -x^2 + 7x \)[/tex] es:
- Cóncava hacia abajo en todo su dominio, es decir, en [tex]\( (-\infty, \infty) \)[/tex].
No existen intervalos en los que la función sea cóncava hacia arriba.
