Давайте найдем область определения функции [tex]\( y = \sqrt{25 - x^2} + \frac{2x - 3}{x + 1} \)[/tex].
1. Рассмотрим первые компоненты функции: [tex]\( \sqrt{25 - x^2} \)[/tex].
Чтобы выражение под квадратным корнем было определено и имело смысл, должно выполняться условие:
[tex]\[ 25 - x^2 \geq 0 \][/tex]
2. Решим неравенство:
[tex]\[ 25 - x^2 \geq 0 \][/tex]
[tex]\[ 25 \geq x^2 \][/tex]
[tex]\[ -5 \leq x \leq 5 \][/tex]
Таким образом, для первой части функции [tex]\( \sqrt{25 - x^2} \)[/tex] области определения подходят значения [tex]\( x \)[/tex] от -5 до 5 включительно.
3. Рассмотрим вторую компоненты функции: [tex]\( \frac{2x - 3}{x + 1} \)[/tex].
Это дробь, и она определена при всех значениях [tex]\( x \)[/tex], кроме тех, которые приводят знаменатель к нулю. Знаменатель равен нулю, когда:
[tex]\[ x + 1 = 0 \][/tex]
[tex]\[ x = -1 \][/tex]
Таким образом, дробь [tex]\(\frac{2x - 3}{x + 1}\)[/tex] не определена при [tex]\( x = -1 \)[/tex].
4. Искомая область определения функции:
Нам нужно сочетать два условия:
- [tex]\( -5 \leq x \leq 5 \)[/tex] (для выражения под корнем)
- [tex]\( x \neq -1 \)[/tex] (для выражения в знаменателе)
Соединяя эти два условия, получаем:
[tex]\[ -5 \leq x < -1 \quad \text{или} \quad -1 < x \leq 5 \][/tex]
Эти интервалы можно записать в виде объединения двух множеств:
[tex]\[ x \in [-5, -1) \cup (-1, 5] \][/tex]
Таким образом, область определения функции [tex]\( y = \sqrt{25 - x^2} + \frac{2x - 3}{x + 1} \)[/tex] есть:
[tex]\[ x \in [-5, -1) \cup (-1, 5] \][/tex]
