Answer :
Claro, vamos a resolver estos problemas aplicando la Regla de Ruffini. La Regla de Ruffini se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de la forma [tex]\( x - k \)[/tex]. Veamos cada caso una por vez.
(a) [tex]\((5x^2 - 4x - 7) : (x - 2)\)[/tex]
Para aplicar la Regla de Ruffini:
1. Colocamos el divisor [tex]\( x - 2 \)[/tex] como [tex]\( k = 2 \)[/tex] (la raíz del divisor).
2. Los coeficientes del dividendo [tex]\( 5x^2 - 4x - 7 \)[/tex] en orden descendente son: [tex]\( 5, -4, -7 \)[/tex].
Ahora, usamos la Regla de Ruffini:
[tex]\[ \begin{array}{r|rrr} 2 & 5 & -4 & -7 \\ \hline & & 10 & 12 \\ \hline & 5 & 6 & 5 \\ \end{array} \][/tex]
Donde:
- Bajamos el primer coeficiente ([tex]\(5\)[/tex]).
- Multiplicamos [tex]\(2\)[/tex] por [tex]\(5\)[/tex], obtenemos [tex]\(10\)[/tex] y lo sumamos al siguiente coeficiente ([tex]\(-4\)[/tex]), resultando en [tex]\(6\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(2\)[/tex] por [tex]\(6\)[/tex], obtenemos [tex]\(12\)[/tex] y lo sumamos a [tex]\(-7\)[/tex], resultando en [tex]\(5\)[/tex].
El cociente es [tex]\(5x + 6\)[/tex] y el resto es [tex]\(5\)[/tex].
(b) [tex]\((6 - x^2 + x^3 - 2x) : (x + 1)\)[/tex]
Para aplicar la Regla de Ruffini:
1. Colocamos el divisor [tex]\( x + 1 \)[/tex] como [tex]\( k = -1 \)[/tex] (la raíz del divisor).
2. Los coeficientes del dividendo [tex]\( x^3 - x^2 - 2x + 6 \)[/tex] (colocados en orden de grados descendentes) son: [tex]\( 1, -1, -2, 6 \)[/tex].
Ahora, usamos la Regla de Ruffini:
[tex]\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & -1 & -2 & 6 \\ \hline & & -1 & 2 & 0 \\ \hline & 1 & -2 & 0 & 6 \\ \end{array} \][/tex]
Donde:
- Bajamos el primer coeficiente ([tex]\(1\)[/tex]).
- Multiplicamos [tex]\(-1\)[/tex] por [tex]\(1\)[/tex], obtenemos [tex]\(-1\)[/tex] y lo sumamos al siguiente coeficiente ([tex]\(-1\)[/tex]), resultando en [tex]\(-2\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(-1\)[/tex] por [tex]\(-2\)[/tex], obtenemos [tex]\(2\)[/tex] y lo sumamos a [tex]\(-2\)[/tex], resultando en [tex]\(0\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(-1\)[/tex] por [tex]\(0\)[/tex], obtenemos [tex]\(0\)[/tex] y lo sumamos a [tex]\(6\)[/tex], resultando en [tex]\(6\)[/tex].
El cociente es [tex]\(x^2 - 2x \)[/tex] y el resto es [tex]\(6\)[/tex].
(c) [tex]\((12x - 5 - x^3) : (x - 4)\)[/tex]
Para aplicar la Regla de Ruffini:
1. Colocamos el divisor [tex]\( x - 4 \)[/tex] como [tex]\( k = 4 \)[/tex] (la raíz del divisor).
2. Los coeficientes del dividendo [tex]\(-x^3 + 12x - 5 \)[/tex] (colocados en orden de grados descendentes) son: [tex]\( -1, 0, 12, -5 \)[/tex].
Ahora, usamos la Regla de Ruffini:
[tex]\[ \begin{array}{r|rrrr} 4 & -1 & 0 & 12 & -5 \\ \hline & & -4 & -16 & -16 \\ \hline & -1 & -4 & -4 & -21 \\ \end{array} \][/tex]
Donde:
- Bajamos el primer coeficiente ([tex]\(-1\)[/tex]).
- Multiplicamos [tex]\(4\)[/tex] por [tex]\(-1\)[/tex], obtenemos [tex]\(-4\)[/tex] y lo sumamos al siguiente coeficiente ([tex]\(0\)[/tex]), resultando en [tex]\(-4\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(4\)[/tex] por [tex]\(-4\)[/tex], obtenemos [tex]\(-16\)[/tex] y lo sumamos a [tex]\(12\)[/tex], resultando en [tex]\(-4\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(4\)[/tex] por [tex]\(-4\)[/tex], obtenemos [tex]\(-16\)[/tex] y lo sumamos a [tex]\(-5\)[/tex], resultando en [tex]\(-21\)[/tex].
El cociente es [tex]\(-x^2 - 4x - 4\)[/tex] y el resto es [tex]\(-21\)[/tex].
(d) [tex]\(( -3 + x^4 + 9x + x^2 ) : (x + 2)\)[/tex]
Para aplicar la Regla de Ruffini:
1. Colocamos el divisor [tex]\( x + 2 \)[/tex] como [tex]\( k = -2 \)[/tex] (la raíz del divisor).
2. Los coeficientes del dividendo [tex]\( x^4 + x^2 + 9x - 3 \)[/tex] (colocados en orden de grados descendentes) son: [tex]\( 1, 0, 1, 9, -3 \)[/tex].
Ahora, usamos la Regla de Ruffini:
[tex]\[ \begin{array}{r|rrrrr} -2 & 1 & 0 & 1 & 9 & -3 \\ \hline & & -2 & 4 & -10 & 2 \\ \hline & 1 & -2 & 5 & -1 & -1 \\ \end{array} \][/tex]
Donde:
- Bajamos el primer coeficiente ([tex]\(1\)[/tex]).
- Multiplicamos [tex]\(-2\)[/tex] por [tex]\(1\)[/tex], obtenemos [tex]\(-2\)[/tex] y lo sumamos al siguiente coeficiente ([tex]\(0\)[/tex]), resultando en [tex]\(-2\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(-2\)[/tex] por [tex]\(-2\)[/tex], obtenemos [tex]\(4\)[/tex] y lo sumamos a [tex]\(1\)[/tex], resultando en [tex]\(5\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(-2\)[/tex] por [tex]\(5\)[/tex], obtenemos [tex]\(-10\)[/tex] y lo sumamos a [tex]\(9\)[/tex], resultando en [tex]\(-1\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(-2\)[/tex] por [tex]\(-1\)[/tex], obtenemos [tex]\(2\)[/tex] y lo sumamos a [tex]\(-3\)[/tex], resultando en [tex]\(-1\)[/tex].
El cociente es [tex]\(x^3 - 2x^2 + 5x - 1\)[/tex] y el resto es [tex]\(-1\)[/tex].
(a) [tex]\((5x^2 - 4x - 7) : (x - 2)\)[/tex]
Para aplicar la Regla de Ruffini:
1. Colocamos el divisor [tex]\( x - 2 \)[/tex] como [tex]\( k = 2 \)[/tex] (la raíz del divisor).
2. Los coeficientes del dividendo [tex]\( 5x^2 - 4x - 7 \)[/tex] en orden descendente son: [tex]\( 5, -4, -7 \)[/tex].
Ahora, usamos la Regla de Ruffini:
[tex]\[ \begin{array}{r|rrr} 2 & 5 & -4 & -7 \\ \hline & & 10 & 12 \\ \hline & 5 & 6 & 5 \\ \end{array} \][/tex]
Donde:
- Bajamos el primer coeficiente ([tex]\(5\)[/tex]).
- Multiplicamos [tex]\(2\)[/tex] por [tex]\(5\)[/tex], obtenemos [tex]\(10\)[/tex] y lo sumamos al siguiente coeficiente ([tex]\(-4\)[/tex]), resultando en [tex]\(6\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(2\)[/tex] por [tex]\(6\)[/tex], obtenemos [tex]\(12\)[/tex] y lo sumamos a [tex]\(-7\)[/tex], resultando en [tex]\(5\)[/tex].
El cociente es [tex]\(5x + 6\)[/tex] y el resto es [tex]\(5\)[/tex].
(b) [tex]\((6 - x^2 + x^3 - 2x) : (x + 1)\)[/tex]
Para aplicar la Regla de Ruffini:
1. Colocamos el divisor [tex]\( x + 1 \)[/tex] como [tex]\( k = -1 \)[/tex] (la raíz del divisor).
2. Los coeficientes del dividendo [tex]\( x^3 - x^2 - 2x + 6 \)[/tex] (colocados en orden de grados descendentes) son: [tex]\( 1, -1, -2, 6 \)[/tex].
Ahora, usamos la Regla de Ruffini:
[tex]\[ \begin{array}{r|rrrr} -1 & 1 & -1 & -2 & 6 \\ \hline & & -1 & 2 & 0 \\ \hline & 1 & -2 & 0 & 6 \\ \end{array} \][/tex]
Donde:
- Bajamos el primer coeficiente ([tex]\(1\)[/tex]).
- Multiplicamos [tex]\(-1\)[/tex] por [tex]\(1\)[/tex], obtenemos [tex]\(-1\)[/tex] y lo sumamos al siguiente coeficiente ([tex]\(-1\)[/tex]), resultando en [tex]\(-2\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(-1\)[/tex] por [tex]\(-2\)[/tex], obtenemos [tex]\(2\)[/tex] y lo sumamos a [tex]\(-2\)[/tex], resultando en [tex]\(0\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(-1\)[/tex] por [tex]\(0\)[/tex], obtenemos [tex]\(0\)[/tex] y lo sumamos a [tex]\(6\)[/tex], resultando en [tex]\(6\)[/tex].
El cociente es [tex]\(x^2 - 2x \)[/tex] y el resto es [tex]\(6\)[/tex].
(c) [tex]\((12x - 5 - x^3) : (x - 4)\)[/tex]
Para aplicar la Regla de Ruffini:
1. Colocamos el divisor [tex]\( x - 4 \)[/tex] como [tex]\( k = 4 \)[/tex] (la raíz del divisor).
2. Los coeficientes del dividendo [tex]\(-x^3 + 12x - 5 \)[/tex] (colocados en orden de grados descendentes) son: [tex]\( -1, 0, 12, -5 \)[/tex].
Ahora, usamos la Regla de Ruffini:
[tex]\[ \begin{array}{r|rrrr} 4 & -1 & 0 & 12 & -5 \\ \hline & & -4 & -16 & -16 \\ \hline & -1 & -4 & -4 & -21 \\ \end{array} \][/tex]
Donde:
- Bajamos el primer coeficiente ([tex]\(-1\)[/tex]).
- Multiplicamos [tex]\(4\)[/tex] por [tex]\(-1\)[/tex], obtenemos [tex]\(-4\)[/tex] y lo sumamos al siguiente coeficiente ([tex]\(0\)[/tex]), resultando en [tex]\(-4\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(4\)[/tex] por [tex]\(-4\)[/tex], obtenemos [tex]\(-16\)[/tex] y lo sumamos a [tex]\(12\)[/tex], resultando en [tex]\(-4\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(4\)[/tex] por [tex]\(-4\)[/tex], obtenemos [tex]\(-16\)[/tex] y lo sumamos a [tex]\(-5\)[/tex], resultando en [tex]\(-21\)[/tex].
El cociente es [tex]\(-x^2 - 4x - 4\)[/tex] y el resto es [tex]\(-21\)[/tex].
(d) [tex]\(( -3 + x^4 + 9x + x^2 ) : (x + 2)\)[/tex]
Para aplicar la Regla de Ruffini:
1. Colocamos el divisor [tex]\( x + 2 \)[/tex] como [tex]\( k = -2 \)[/tex] (la raíz del divisor).
2. Los coeficientes del dividendo [tex]\( x^4 + x^2 + 9x - 3 \)[/tex] (colocados en orden de grados descendentes) son: [tex]\( 1, 0, 1, 9, -3 \)[/tex].
Ahora, usamos la Regla de Ruffini:
[tex]\[ \begin{array}{r|rrrrr} -2 & 1 & 0 & 1 & 9 & -3 \\ \hline & & -2 & 4 & -10 & 2 \\ \hline & 1 & -2 & 5 & -1 & -1 \\ \end{array} \][/tex]
Donde:
- Bajamos el primer coeficiente ([tex]\(1\)[/tex]).
- Multiplicamos [tex]\(-2\)[/tex] por [tex]\(1\)[/tex], obtenemos [tex]\(-2\)[/tex] y lo sumamos al siguiente coeficiente ([tex]\(0\)[/tex]), resultando en [tex]\(-2\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(-2\)[/tex] por [tex]\(-2\)[/tex], obtenemos [tex]\(4\)[/tex] y lo sumamos a [tex]\(1\)[/tex], resultando en [tex]\(5\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(-2\)[/tex] por [tex]\(5\)[/tex], obtenemos [tex]\(-10\)[/tex] y lo sumamos a [tex]\(9\)[/tex], resultando en [tex]\(-1\)[/tex].
- Multiplicamos [tex]\(-2\)[/tex] por [tex]\(-1\)[/tex], obtenemos [tex]\(2\)[/tex] y lo sumamos a [tex]\(-3\)[/tex], resultando en [tex]\(-1\)[/tex].
El cociente es [tex]\(x^3 - 2x^2 + 5x - 1\)[/tex] y el resto es [tex]\(-1\)[/tex].
