Answer :
Desigur! Să rezolvăm problema pas cu pas.
1. Definirea problemei:
- Trebuie să găsim numere naturale [tex]\( n \)[/tex] astfel încât atunci când sunt împărțite la 9, câtul ([tex]\( q \)[/tex]) și restul ([tex]\( r \)[/tex]) să fie două numere naturale consecutive.
- De asemenea, știind că câtul este mai mic decât restul, avem [tex]\( q < r \)[/tex].
2. Relația dintre [tex]\( q \)[/tex] și [tex]\( r \)[/tex]:
- Deoarece câtul și restul sunt două numere naturale consecutive, putem exprima restul [tex]\( r \)[/tex] în funcție de cât [tex]\( q \)[/tex]. Să presupunem că [tex]\( r = q + 1 \)[/tex].
3. Relația de divizare:
- Formula de divizare a unui număr reiese din relația [tex]\( n = 9q + r \)[/tex]. Înlocuind [tex]\( r = q + 1 \)[/tex], avem:
[tex]\[ n = 9q + (q + 1) \][/tex]
- Simplificând expresia obținem:
[tex]\[ n = 10q + 1 \][/tex]
4. Găsirea numerelor corespunzătoare:
- Având formula [tex]\( n = 10q + 1 \)[/tex], putem calcula câteva valori pentru diferite valori ale lui [tex]\( q \)[/tex]. Deoarece atât [tex]\( q \)[/tex] cât și [tex]\( r \)[/tex] sunt numere naturale, [tex]\( q \)[/tex] începe de la 1.
- Pentru [tex]\( q = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 1 + 1 = 11 \quad (\text{q=1, r=q+1=2}) \][/tex]
- Pentru [tex]\( q = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 2 + 1 = 21 \quad (\text{q=2, r=q+1=3}) \][/tex]
- Pentru [tex]\( q = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 3 + 1 = 31 \quad (\text{q=3, r=q+1=4}) \][/tex]
- Pentru [tex]\( q = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 4 + 1 = 41 \quad (\text{q=4, r=q+1=5}) \][/tex]
- Pentru [tex]\( q = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 5 + 1 = 51 \quad (\text{q=5, r=q+1=6}) \][/tex]
- Pentru [tex]\( q = 6 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 6 + 1 = 61 \quad (\text{q=6, r=q+1=7}) \][/tex]
- Pentru [tex]\( q = 7 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 7 + 1 = 71 \quad (\text{q=7, r=q+1=8}) \][/tex]
- Pentru [tex]\( q = 8 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 8 + 1 = 81 \quad (\text{q=8, r=q+1=9}) \][/tex]
- Pentru [tex]\( q = 9 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 9 + 1 = 91 \quad (\text{q=9, r=q+1=10}) \][/tex]
Rezultatele obținute sunt:
[tex]\[ n = 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91 \][/tex]
Cu corespondentele [tex]\( q \)[/tex] și [tex]\( r \)[/tex] pentru fiecare [tex]\( n \)[/tex] în parte:
1. [tex]\( n = 11, q = 1, r = 2 \)[/tex]
2. [tex]\( n = 21, q = 2, r = 3 \)[/tex]
3. [tex]\( n = 31, q = 3, r = 4 \)[/tex]
4. [tex]\( n = 41, q = 4, r = 5 \)[/tex]
5. [tex]\( n = 51, q = 5, r = 6 \)[/tex]
6. [tex]\( n = 61, q = 6, r = 7 \)[/tex]
7. [tex]\( n = 71, q = 7, r = 8 \)[/tex]
8. [tex]\( n = 81, q = 8, r = 9 \)[/tex]
9. [tex]\( n = 91, q = 9, r = 10 \)[/tex]
Acestea sunt numerele naturale care îndeplinesc condiția problemei.
1. Definirea problemei:
- Trebuie să găsim numere naturale [tex]\( n \)[/tex] astfel încât atunci când sunt împărțite la 9, câtul ([tex]\( q \)[/tex]) și restul ([tex]\( r \)[/tex]) să fie două numere naturale consecutive.
- De asemenea, știind că câtul este mai mic decât restul, avem [tex]\( q < r \)[/tex].
2. Relația dintre [tex]\( q \)[/tex] și [tex]\( r \)[/tex]:
- Deoarece câtul și restul sunt două numere naturale consecutive, putem exprima restul [tex]\( r \)[/tex] în funcție de cât [tex]\( q \)[/tex]. Să presupunem că [tex]\( r = q + 1 \)[/tex].
3. Relația de divizare:
- Formula de divizare a unui număr reiese din relația [tex]\( n = 9q + r \)[/tex]. Înlocuind [tex]\( r = q + 1 \)[/tex], avem:
[tex]\[ n = 9q + (q + 1) \][/tex]
- Simplificând expresia obținem:
[tex]\[ n = 10q + 1 \][/tex]
4. Găsirea numerelor corespunzătoare:
- Având formula [tex]\( n = 10q + 1 \)[/tex], putem calcula câteva valori pentru diferite valori ale lui [tex]\( q \)[/tex]. Deoarece atât [tex]\( q \)[/tex] cât și [tex]\( r \)[/tex] sunt numere naturale, [tex]\( q \)[/tex] începe de la 1.
- Pentru [tex]\( q = 1 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 1 + 1 = 11 \quad (\text{q=1, r=q+1=2}) \][/tex]
- Pentru [tex]\( q = 2 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 2 + 1 = 21 \quad (\text{q=2, r=q+1=3}) \][/tex]
- Pentru [tex]\( q = 3 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 3 + 1 = 31 \quad (\text{q=3, r=q+1=4}) \][/tex]
- Pentru [tex]\( q = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 4 + 1 = 41 \quad (\text{q=4, r=q+1=5}) \][/tex]
- Pentru [tex]\( q = 5 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 5 + 1 = 51 \quad (\text{q=5, r=q+1=6}) \][/tex]
- Pentru [tex]\( q = 6 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 6 + 1 = 61 \quad (\text{q=6, r=q+1=7}) \][/tex]
- Pentru [tex]\( q = 7 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 7 + 1 = 71 \quad (\text{q=7, r=q+1=8}) \][/tex]
- Pentru [tex]\( q = 8 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 8 + 1 = 81 \quad (\text{q=8, r=q+1=9}) \][/tex]
- Pentru [tex]\( q = 9 \)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 \cdot 9 + 1 = 91 \quad (\text{q=9, r=q+1=10}) \][/tex]
Rezultatele obținute sunt:
[tex]\[ n = 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91 \][/tex]
Cu corespondentele [tex]\( q \)[/tex] și [tex]\( r \)[/tex] pentru fiecare [tex]\( n \)[/tex] în parte:
1. [tex]\( n = 11, q = 1, r = 2 \)[/tex]
2. [tex]\( n = 21, q = 2, r = 3 \)[/tex]
3. [tex]\( n = 31, q = 3, r = 4 \)[/tex]
4. [tex]\( n = 41, q = 4, r = 5 \)[/tex]
5. [tex]\( n = 51, q = 5, r = 6 \)[/tex]
6. [tex]\( n = 61, q = 6, r = 7 \)[/tex]
7. [tex]\( n = 71, q = 7, r = 8 \)[/tex]
8. [tex]\( n = 81, q = 8, r = 9 \)[/tex]
9. [tex]\( n = 91, q = 9, r = 10 \)[/tex]
Acestea sunt numerele naturale care îndeplinesc condiția problemei.
