Answer :
Vamos a resolver cada una de las afirmaciones dadas y determinar si son verdaderas (V) o falsas (F).
### Afirmación a.
[tex]$512 b^{18} + 1 = (8 b^6 + 1)(64 b^{12} - 8 b^6 + 1)$[/tex]
Para comprobar esta afirmación, debemos expandir el producto de los factores del lado derecho y ver si es igual al lado izquierdo:
[tex]\[ (8 b^6 + 1)(64 b^{12} - 8 b^6 + 1) \][/tex]
Multiplicamos los términos:
[tex]\[ 8 b^6 \cdot 64 b^{12} + 8 b^6 \cdot (-8 b^6) + 8 b^6 \cdot 1 + 1 \cdot 64 b^{12} + 1 \cdot (-8 b^6) + 1 \cdot 1 \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ (8 b^6 \cdot 64 b^{12}) + (8 b^6 \cdot -8 b^6) + (8 b^6 \cdot 1) + (1 \cdot 64 b^{12}) + (1 \cdot -8 b^6) + (1 \cdot 1) \][/tex]
[tex]\[ 512 b^{18} - 64 b^{12} + 8 b^6 + 64 b^{12} - 8 b^6 + 1 \][/tex]
[tex]\[ 512 b^{18} + 1 \][/tex]
Dado que el desarrollo coincide con el lado izquierdo de la ecuación, la afirmación a es verdadera (V).
### Afirmación b.
[tex]$512 b^{18} - 1 = (8 b^6 + 1)(64 b^{12} - 8 b^6 + 1)$[/tex]
Para comprobar esta afirmación, expandimos el producto del lado derecho:
[tex]\[ (8 b^6 + 1)(64 b^{12} - 8 b^6 + 1) \][/tex]
Multiplicamos los términos:
[tex]\[ 8 b^6 \cdot 64 b^{12} + 8 b^6 \cdot (-8 b^6) + 8 b^6 \cdot 1 + 1 \cdot 64 b^{12} + 1 \cdot (-8 b^6) + 1 \cdot 1 \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ (8 b^6 \cdot 64 b^{12}) + (8 b^6 \cdot -8 b^6) + (8 b^6 \cdot 1) + (1 \cdot 64 b^{12}) + (1 \cdot -8 b^6) + (1 \cdot 1) \][/tex]
[tex]\[ 512 b^{18} - 64 b^{12} + 8 b^6 + 64 b^{12} - 8 b^6 + 1 \][/tex]
[tex]\[ 512 b^{18} + 1 \][/tex]
Dado que el resultado es [tex]\(512 b^{18} + 1\)[/tex] y no [tex]\(512 b^{18} - 1\)[/tex], la afirmación b es falsa (F).
### Afirmación c.
[tex]$216 + y^6 = (6 + y^2)(36 - 6 y^2 + y^4)$[/tex]
Para comprobar esta afirmación, expandimos el producto del lado derecho:
[tex]\[ (6 + y^2)(36 - 6 y^2 + y^4) \][/tex]
Multiplicamos los términos:
[tex]\[ 6 \cdot 36 + 6 \cdot (-6 y^2) + 6 \cdot y^4 + y^2 \cdot 36 + y^2 \cdot (-6 y^2) + y^2 \cdot y^4 \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ 216 - 36 y^2 + 6 y^4 + 36 y^2 - 6 y^4 + y^6 \][/tex]
[tex]\[ 216 + y^6 \][/tex]
Dado que el resultado coincide con el lado izquierdo de la ecuación, la afirmación c es verdadera (V).
### Afirmación d.
[tex]$216 - y^6 = (6 - y^2)(36 + 6 y^2 + y^4)$[/tex]
Para comprobar esta afirmación, expandimos el producto del lado derecho:
[tex]\[ (6 - y^2)(36 + 6 y^2 + y^4) \][/tex]
Multiplicamos los términos:
[tex]\[ 6 \cdot 36 + 6 \cdot 6 y^2 + 6 \cdot y^4 + (-y^2) \cdot 36 + (-y^2) \cdot 6 y^2 + (-y^2) \cdot y^4 \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ 216 + 36 y^2 + 6 y^4 - 36 y^2 - 6 y^4 - y^6 \][/tex]
[tex]\[ 216 - y^6 \][/tex]
Dado que el resultado coincide con el lado izquierdo de la ecuación, la afirmación d es verdadera (V).
### Resumen
a. Verdadera (V)
b. Falsa (F)
c. Verdadera (V)
d. Verdadera (V)
### Afirmación a.
[tex]$512 b^{18} + 1 = (8 b^6 + 1)(64 b^{12} - 8 b^6 + 1)$[/tex]
Para comprobar esta afirmación, debemos expandir el producto de los factores del lado derecho y ver si es igual al lado izquierdo:
[tex]\[ (8 b^6 + 1)(64 b^{12} - 8 b^6 + 1) \][/tex]
Multiplicamos los términos:
[tex]\[ 8 b^6 \cdot 64 b^{12} + 8 b^6 \cdot (-8 b^6) + 8 b^6 \cdot 1 + 1 \cdot 64 b^{12} + 1 \cdot (-8 b^6) + 1 \cdot 1 \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ (8 b^6 \cdot 64 b^{12}) + (8 b^6 \cdot -8 b^6) + (8 b^6 \cdot 1) + (1 \cdot 64 b^{12}) + (1 \cdot -8 b^6) + (1 \cdot 1) \][/tex]
[tex]\[ 512 b^{18} - 64 b^{12} + 8 b^6 + 64 b^{12} - 8 b^6 + 1 \][/tex]
[tex]\[ 512 b^{18} + 1 \][/tex]
Dado que el desarrollo coincide con el lado izquierdo de la ecuación, la afirmación a es verdadera (V).
### Afirmación b.
[tex]$512 b^{18} - 1 = (8 b^6 + 1)(64 b^{12} - 8 b^6 + 1)$[/tex]
Para comprobar esta afirmación, expandimos el producto del lado derecho:
[tex]\[ (8 b^6 + 1)(64 b^{12} - 8 b^6 + 1) \][/tex]
Multiplicamos los términos:
[tex]\[ 8 b^6 \cdot 64 b^{12} + 8 b^6 \cdot (-8 b^6) + 8 b^6 \cdot 1 + 1 \cdot 64 b^{12} + 1 \cdot (-8 b^6) + 1 \cdot 1 \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ (8 b^6 \cdot 64 b^{12}) + (8 b^6 \cdot -8 b^6) + (8 b^6 \cdot 1) + (1 \cdot 64 b^{12}) + (1 \cdot -8 b^6) + (1 \cdot 1) \][/tex]
[tex]\[ 512 b^{18} - 64 b^{12} + 8 b^6 + 64 b^{12} - 8 b^6 + 1 \][/tex]
[tex]\[ 512 b^{18} + 1 \][/tex]
Dado que el resultado es [tex]\(512 b^{18} + 1\)[/tex] y no [tex]\(512 b^{18} - 1\)[/tex], la afirmación b es falsa (F).
### Afirmación c.
[tex]$216 + y^6 = (6 + y^2)(36 - 6 y^2 + y^4)$[/tex]
Para comprobar esta afirmación, expandimos el producto del lado derecho:
[tex]\[ (6 + y^2)(36 - 6 y^2 + y^4) \][/tex]
Multiplicamos los términos:
[tex]\[ 6 \cdot 36 + 6 \cdot (-6 y^2) + 6 \cdot y^4 + y^2 \cdot 36 + y^2 \cdot (-6 y^2) + y^2 \cdot y^4 \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ 216 - 36 y^2 + 6 y^4 + 36 y^2 - 6 y^4 + y^6 \][/tex]
[tex]\[ 216 + y^6 \][/tex]
Dado que el resultado coincide con el lado izquierdo de la ecuación, la afirmación c es verdadera (V).
### Afirmación d.
[tex]$216 - y^6 = (6 - y^2)(36 + 6 y^2 + y^4)$[/tex]
Para comprobar esta afirmación, expandimos el producto del lado derecho:
[tex]\[ (6 - y^2)(36 + 6 y^2 + y^4) \][/tex]
Multiplicamos los términos:
[tex]\[ 6 \cdot 36 + 6 \cdot 6 y^2 + 6 \cdot y^4 + (-y^2) \cdot 36 + (-y^2) \cdot 6 y^2 + (-y^2) \cdot y^4 \][/tex]
Simplificando:
[tex]\[ 216 + 36 y^2 + 6 y^4 - 36 y^2 - 6 y^4 - y^6 \][/tex]
[tex]\[ 216 - y^6 \][/tex]
Dado que el resultado coincide con el lado izquierdo de la ecuación, la afirmación d es verdadera (V).
### Resumen
a. Verdadera (V)
b. Falsa (F)
c. Verdadera (V)
d. Verdadera (V)
