Answer :
Claro, vamos a resolver cada una de las ecuaciones dadas para encontrar el vértice, el foco y la directriz, además de graficar cada parábola.
### Parte (a)
La ecuación dada es:
[tex]\[ -\frac{1}{6}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = y \][/tex]
Esta ecuación está en la forma de una parábola orientada verticalmente:
[tex]\[ y = a(x - h)^2 + k \][/tex]
donde [tex]\( a = -\frac{1}{6} \)[/tex], [tex]\( h = -\frac{1}{2} \)[/tex] y [tex]\( k = 0 \)[/tex].
Vértice:
El vértice de la parábola se encuentra en [tex]\((h, k)\)[/tex]:
[tex]\[ V = \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \][/tex]
Foco:
La fórmula para encontrar el foco de una parábola vertical es:
[tex]\[ (h, k + \frac{1}{4a}) \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ \frac{1}{4a} = \frac{1}{4 \cdot -\frac{1}{6}} = -\frac{3}{2} \][/tex]
Entonces, el foco es:
[tex]\[ F = \left(-\frac{1}{2}, 0 - \frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}\right) \][/tex]
Directriz:
La fórmula de la directriz es:
[tex]\[ y = k - \frac{1}{4a} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ y = 0 - \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} \][/tex]
Entonces, la directriz es:
[tex]\[ y = \frac{3}{2} \][/tex]
### Parte (b)
La ecuación dada es:
[tex]\[ 8y^2 = 6x - 4 + 16y \][/tex]
Primero, reorganizamos la ecuación para ponerla en la forma estándar de una parábola:
[tex]\[ 8y^2 - 16y = 6x - 4 \][/tex]
[tex]\[ 8(y^2 - 2y) = 6x - 4 \][/tex]
Completemos el cuadrado en [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 8(y^2 - 2y + 1 - 1) = 6x - 4 \][/tex]
[tex]\[ 8((y - 1)^2 - 1) = 6x - 4 \][/tex]
[tex]\[ 8(y - 1)^2 - 8 = 6x - 4 \][/tex]
[tex]\[ 8(y - 1)^2 = 6x + 4 \][/tex]
[tex]\[ (y - 1)^2 = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} \][/tex]
Ahora, pongamos la ecuación en la forma estándar de una parábola horizontal:
[tex]\[ (y - k)^2 = 4p(x - h) \][/tex]
donde:
[tex]\[ (y - 1)^2 = 4 \left(\frac{3}{16}\right) \left(x - \left(-\frac{1}{8}\right)\right) \][/tex]
Así, [tex]\( p = \frac{3}{16} \)[/tex], [tex]\( h = -\frac{1}{8} \)[/tex], [tex]\( k = 1 \)[/tex].
Vértice:
El vértice de la parábola se encuentra en [tex]\((h, k)\)[/tex]:
[tex]\[ V = \left(-\frac{1}{8}, 1\right) \][/tex]
Foco:
La fórmula para encontrar el foco de una parábola horizontal es:
[tex]\[ (h + p, k) \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ F = \left(-\frac{1}{8} + \frac{3}{16}, 1\right) = \left(\frac{1}{16}, 1\right) \][/tex]
Directriz:
La fórmula de la directriz es:
[tex]\[ x = h - p \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ x = -\frac{1}{8} - \frac{3}{16} = -\frac{5}{16} \][/tex]
Entonces, la directriz es:
[tex]\[ x = -\frac{5}{16} \][/tex]
### Resumen de resultados:
- Para la ecuación [tex]\( -\frac{1}{6}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = y \)[/tex]:
- Vértice: [tex]\( \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \)[/tex]
- Foco: [tex]\( \left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}\right) \)[/tex]
- Directriz: [tex]\( y = \frac{3}{2} \)[/tex]
- Para la ecuación [tex]\( 8y^2 = 6x - 4 + 16y \)[/tex]:
- Vértice: [tex]\( \left(-\frac{1}{8}, 1\right) \)[/tex]
- Foco: [tex]\( \left(\frac{1}{16}, 1\right) \)[/tex]
- Directriz: [tex]\( x = -\frac{5}{16} \)[/tex]
### Parte (a)
La ecuación dada es:
[tex]\[ -\frac{1}{6}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = y \][/tex]
Esta ecuación está en la forma de una parábola orientada verticalmente:
[tex]\[ y = a(x - h)^2 + k \][/tex]
donde [tex]\( a = -\frac{1}{6} \)[/tex], [tex]\( h = -\frac{1}{2} \)[/tex] y [tex]\( k = 0 \)[/tex].
Vértice:
El vértice de la parábola se encuentra en [tex]\((h, k)\)[/tex]:
[tex]\[ V = \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \][/tex]
Foco:
La fórmula para encontrar el foco de una parábola vertical es:
[tex]\[ (h, k + \frac{1}{4a}) \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ \frac{1}{4a} = \frac{1}{4 \cdot -\frac{1}{6}} = -\frac{3}{2} \][/tex]
Entonces, el foco es:
[tex]\[ F = \left(-\frac{1}{2}, 0 - \frac{3}{2}\right) = \left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}\right) \][/tex]
Directriz:
La fórmula de la directriz es:
[tex]\[ y = k - \frac{1}{4a} \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ y = 0 - \left(-\frac{3}{2}\right) = \frac{3}{2} \][/tex]
Entonces, la directriz es:
[tex]\[ y = \frac{3}{2} \][/tex]
### Parte (b)
La ecuación dada es:
[tex]\[ 8y^2 = 6x - 4 + 16y \][/tex]
Primero, reorganizamos la ecuación para ponerla en la forma estándar de una parábola:
[tex]\[ 8y^2 - 16y = 6x - 4 \][/tex]
[tex]\[ 8(y^2 - 2y) = 6x - 4 \][/tex]
Completemos el cuadrado en [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[ 8(y^2 - 2y + 1 - 1) = 6x - 4 \][/tex]
[tex]\[ 8((y - 1)^2 - 1) = 6x - 4 \][/tex]
[tex]\[ 8(y - 1)^2 - 8 = 6x - 4 \][/tex]
[tex]\[ 8(y - 1)^2 = 6x + 4 \][/tex]
[tex]\[ (y - 1)^2 = \frac{3}{4}x + \frac{1}{2} \][/tex]
Ahora, pongamos la ecuación en la forma estándar de una parábola horizontal:
[tex]\[ (y - k)^2 = 4p(x - h) \][/tex]
donde:
[tex]\[ (y - 1)^2 = 4 \left(\frac{3}{16}\right) \left(x - \left(-\frac{1}{8}\right)\right) \][/tex]
Así, [tex]\( p = \frac{3}{16} \)[/tex], [tex]\( h = -\frac{1}{8} \)[/tex], [tex]\( k = 1 \)[/tex].
Vértice:
El vértice de la parábola se encuentra en [tex]\((h, k)\)[/tex]:
[tex]\[ V = \left(-\frac{1}{8}, 1\right) \][/tex]
Foco:
La fórmula para encontrar el foco de una parábola horizontal es:
[tex]\[ (h + p, k) \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ F = \left(-\frac{1}{8} + \frac{3}{16}, 1\right) = \left(\frac{1}{16}, 1\right) \][/tex]
Directriz:
La fórmula de la directriz es:
[tex]\[ x = h - p \][/tex]
Sustituyendo los valores:
[tex]\[ x = -\frac{1}{8} - \frac{3}{16} = -\frac{5}{16} \][/tex]
Entonces, la directriz es:
[tex]\[ x = -\frac{5}{16} \][/tex]
### Resumen de resultados:
- Para la ecuación [tex]\( -\frac{1}{6}\left(x+\frac{1}{2}\right)^2 = y \)[/tex]:
- Vértice: [tex]\( \left(-\frac{1}{2}, 0\right) \)[/tex]
- Foco: [tex]\( \left(-\frac{1}{2}, -\frac{3}{2}\right) \)[/tex]
- Directriz: [tex]\( y = \frac{3}{2} \)[/tex]
- Para la ecuación [tex]\( 8y^2 = 6x - 4 + 16y \)[/tex]:
- Vértice: [tex]\( \left(-\frac{1}{8}, 1\right) \)[/tex]
- Foco: [tex]\( \left(\frac{1}{16}, 1\right) \)[/tex]
- Directriz: [tex]\( x = -\frac{5}{16} \)[/tex]
