Para resolver el ejercicio de derivar la función [tex]\( y = \frac{x^4}{4} - 5x^3 + \frac{2}{x} - 4\sqrt[4]{x^3} \)[/tex], debemos aplicar las reglas de derivación a cada uno de los términos de la función.
Vamos a derivar la función [tex]\( y \)[/tex] respecto a [tex]\( x \)[/tex] paso a paso:
1. Término [tex]\( \frac{x^4}{4} \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^4}{4}\right) = \frac{4x^3}{4} = x^3
\][/tex]
2. Término [tex]\( -5x^3 \)[/tex]:
[tex]\[
\frac{d}{dx}(-5x^3) = -15x^2
\][/tex]
3. Término [tex]\( \frac{2}{x} \)[/tex]:
Podemos reescribir [tex]\( \frac{2}{x} \)[/tex] como [tex]\( 2x^{-1} \)[/tex] y luego derivar:
[tex]\[
\frac{d}{dx}(2x^{-1}) = 2 \cdot (-1)x^{-2} = -\frac{2}{x^2}
\][/tex]
4. Término [tex]\( -4\sqrt[4]{x^3} \)[/tex]:
Podemos reescribir [tex]\( \sqrt[4]{x^3} \)[/tex] como [tex]\( x^{3/4} \)[/tex] y luego derivar:
[tex]\[
\frac{d}{dx}(-4x^{3/4}) = -4 \cdot \frac{3}{4} x^{3/4 - 1} = -3 x^{-1/4} = -\frac{3}{x^{1/4}}
\][/tex]
Ahora, reunimos todos los términos derivados:
[tex]\[
\frac{d}{dx}\left(\frac{x^4}{4} - 5x^3 + \frac{2}{x} - 4\sqrt[4]{x^3}\right) = x^3 - 15x^2 - \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^{1/4}}
\][/tex]
Así, la derivada de la función [tex]\( y = \frac{x^4}{4} - 5x^3 + \frac{2}{x} - 4\sqrt[4]{x^3} \)[/tex] es:
[tex]\[
y' = x^3 - 15x^2 - \frac{2}{x^2} - \frac{3}{x^{1/4}}
\][/tex]
