Para resolver este problema, podemos emplear el principio de triángulos semejantes. Aquí están los pasos detallados para llegar a la solución:
Paso 1: Identificar los parámetros dados
- Altura de la persona ([tex]\(h_p\)[/tex]) = [tex]\(1.80 \, m\)[/tex]
- Distancia de la persona al pie del farol ([tex]\(d_f\)[/tex]) = [tex]\(3.60 \, m\)[/tex]
- Longitud de la sombra de la persona ([tex]\(s_p\)[/tex]) = [tex]\(2.40 \, m\)[/tex]
Paso 2: Plantear la relación de triángulos semejantes
Cuando una persona proyecta una sombra bajo una fuente de luz como un farol, se pueden formar dos triángulos semejantes:
1. El triángulo pequeño formado por la altura de la persona y la longitud de su sombra.
2. El triángulo grande formado por la altura del farol ([tex]\(h_f\)[/tex]) y la distancia desde la punta de la sombra de la persona al pie del farol.
La clave está en usar las proporciones de los triángulos semejantes:
[tex]\[
\frac{\text{Altura de la persona}}{\text{Longitud de la sombra}} = \frac{\text{Altura del farol}}{\text{(Distancia del pie del farol + Longitud de la sombra)}}
\][/tex]
Paso 3: Escribir la ecuación matemática
[tex]\[
\frac{h_p}{s_p} = \frac{h_f}{(d_f + s_p)}
\][/tex]
Paso 4: Sustituir los valores conocidos
[tex]\[
\frac{1.80}{2.40} = \frac{h_f}{(3.60 + 2.40)}
\][/tex]
[tex]\[
\frac{1.80}{2.40} = \frac{h_f}{6.00}
\][/tex]
Paso 5: Resolver la ecuación para [tex]\(h_f\)[/tex]
Para despejar [tex]\(h_f\)[/tex], multiplicamos ambos lados de la ecuación por [tex]\(6.00\)[/tex] (la suma de la distancia del pie del farol y la longitud de la sombra):
[tex]\[
h_f = 6.00 \times \frac{1.80}{2.40}
\][/tex]
Simplificamos la fracción [tex]\(\frac{1.80}{2.40}\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{1.80}{2.40} = 0.75
\][/tex]
Entonces,
[tex]\[
h_f = 6.00 \times 0.75
\][/tex]
Paso 6: Calcular el resultado
[tex]\[
h_f = 4.50 \, m
\][/tex]
Respuesta
El alto del farol es [tex]\(4.50 \, m\)[/tex].
