Para repartir los \[tex]$324 de cambio entre Amalia, Marcela y Olga de acuerdo a las condiciones dadas, vamos a seguir estos pasos:
1. Definir las variables y relaciones:
- Designamos \( A \) como la cantidad de dinero que recibe Amalia.
- Según las condiciones del problema, Marcela recibe cuatro veces lo que recibe Amalia. Por lo tanto, la cantidad que recibe Marcela es \( M = 4A \).
- Olga recibe dos tercios (2/3) de lo que recibe Marcela. Por lo tanto, la cantidad que recibe Olga es \( O = \frac{2}{3} M \).
2. Expresar las cantidades en términos de Amalia:
- Como \( M = 4A \), sustituyendo esta relación en \( O \):
\[ O = \frac{2}{3} \times 4A = \frac{8}{3}A \]
3. Establecer la ecuación para el total:
- La suma del dinero que reciben las tres amigas debe igualar el total del cambio que es \$[/tex]324.
- La ecuación queda así:
[tex]\[
A + M + O = 324
\][/tex]
- Sustituyendo [tex]\( M \)[/tex] y [tex]\( O \)[/tex] con sus respectivas expresiones en términos de [tex]\( A \)[/tex]:
[tex]\[
A + 4A + \frac{8}{3}A = 324
\][/tex]
4. Combinar términos:
- Combinamos todos los términos en una sola fracción.
[tex]\[
A + 4A + \frac{8}{3}A = 324
\][/tex]
[tex]\[
\left(1 + 4 + \frac{8}{3}\right)A = 324
\][/tex]
[tex]\[
\left(\frac{3}{3} + \frac{12}{3} + \frac{8}{3}\right)A = 324
\][/tex]
[tex]\[
\frac{23}{3}A = 324
\][/tex]
5. Resolver la ecuación para [tex]\( A \)[/tex]:
- Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 3 para deshacernos del denominador:
[tex]\[
23A = 324 \times 3
\][/tex]
[tex]\[
23A = 972
\][/tex]
- Dividimos ambos lados de la ecuación por 23:
[tex]\[
A = \frac{972}{23}
\][/tex]
[tex]\[
A = 42.26086956521739
\][/tex]
6. Calcular la cantidad para Marcela (M) y Olga (O):
- Para Marcela:
[tex]\[
M = 4A = 4 \times 42.26086956521739 = 169.04347826086956
\][/tex]
- Para Olga:
[tex]\[
O = \frac{8}{3}A = \frac{8}{3} \times 42.26086956521739 = 112.69565217391303
\][/tex]
En resumen, el monto que recibe cada una es:
- Amalia: \[tex]$42.26
- Marcela: \$[/tex]169.04
- Olga: \$112.70
Todos los valores aquí han sido redondeados al segundo decimal para claridad.
