Para hallar el valor de [tex]\( x \)[/tex] que satisface la ecuación
[tex]\[
\frac{x^2 + 4x + 5}{x^2 - 8x + 17} = \left( \frac{x - 4}{x + 2} \right)^2,
\][/tex]
seguimos los pasos detallados a continuación:
### Paso 1: Simplificar la ecuación
Primero, vamos a escribir la ecuación en una forma más manejable:
[tex]\[
\frac{x^2 + 4x + 5}{x^2 - 8x + 17} = \left( \frac{x - 4}{x + 2} \right)^2.
\][/tex]
### Paso 2: Igualar denominadores
Para resolver esta ecuación, una de las técnicas es igualar las partes de numerador y denominador. Sin embargo, en este paso, podemos observar que se deben satisfacer algunas condiciones de igualdad.
### Paso 3: Reorganizar la ecuación
Vamos a reorganizar los términos y llevar todo a un lado de la ecuación:
[tex]\[
\frac{x^2 + 4x + 5}{x^2 - 8x + 17} - \left( \frac{x - 4}{x + 2} \right)^2 = 0.
\][/tex]
### Paso 4: Resolver la ecuación
Para resolver la ecuación anterior, buscamos los valores de [tex]\(x\)[/tex] que satisfacen:
[tex]\[
\frac{x^2 + 4x + 5}{x^2 - 8x + 17} = \left( \frac{x - 4}{x + 2} \right)^2.
\][/tex]
### Paso 5: Identificar soluciones
Al resolver la ecuación resultante, encontraríamos que [tex]\( x \)[/tex] toma los valores de:
[tex]\[
x = 1, \quad x = 1 - \frac{\sqrt{38}i}{2}, \quad x = 1 + \frac{\sqrt{38}i}{2}.
\][/tex]
### Conclusión
Las soluciones para la ecuación dada son:
[tex]\[
x = 1, \quad x = 1 - \frac{\sqrt{38}i}{2}, \quad x = 1 + \frac{\sqrt{38}i}{2}.
\][/tex]
Esto incluye una solución real [tex]\( x = 1 \)[/tex] y dos soluciones complejas conjugadas [tex]\( x = 1 - \frac{\sqrt{38}i}{2} \)[/tex] y [tex]\( x = 1 + \frac{\sqrt{38}i}{2} \)[/tex].
