Para determinar la ecuación de una elipse a partir de sus vértices y focos, debemos seguir varios pasos detallados. En este caso, los vértices de la elipse están en [tex]\((-1, 3)\)[/tex] y [tex]\((9, 3)\)[/tex], y los focos están en [tex]\((1, 3)\)[/tex] y [tex]\((7, 3)\)[/tex]. Veamos cómo proceder:
### 1. Coordenadas del centro de la elipse
El centro de la elipse [tex]\((h, k)\)[/tex] se encuentra a medio camino entre los dos vértices. Dado que los vértices tienen las mismas coordenadas [tex]\(y\)[/tex], el centro estará en la misma línea horizontal a igual distancia de cada vértice.
[tex]\[h = \frac{-1 + 9}{2} = 4 \][/tex]
[tex]\[k = 3 \][/tex]
Por lo tanto, el centro de la elipse es [tex]\((4, 3)\)[/tex].
### 2. Longitud del semieje mayor (a)
La distancia entre el centro de la elipse y cualquiera de los vértices se llama semieje mayor [tex]\(a\)[/tex]. Dado que los vértices están en [tex]\((-1, 3)\)[/tex] y [tex]\((9, 3)\)[/tex], podemos calcular [tex]\(a\)[/tex] como:
[tex]\[a = |-1 - 4| = |9 - 4| = 5 \][/tex]
### 3. Longitud de la distancia focal (c)
La distancia entre el centro de la elipse y cualquiera de los focos se llama distancia focal [tex]\(c\)[/tex]. Dado que los focos están en [tex]\((1, 3)\)[/tex] y [tex]\((7, 3)\)[/tex], podemos calcular [tex]\(c\)[/tex] como:
[tex]\[c = |1 - 4| = |7 - 4| = 3 \][/tex]
### 4. Longitud del semieje menor (b)
Para una elipse, existe la relación [tex]\(c^2 = a^2 - b^2\)[/tex]. Despejamos [tex]\(b\)[/tex] a partir de esta relación:
[tex]\[c^2 = a^2 - b^2\][/tex]
Sustituyendo los valores de [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex]:
[tex]\[3^2 = 5^2 - b^2\][/tex]
[tex]\[9 = 25 - b^2\][/tex]
[tex]\[b^2 = 25 - 9\][/tex]
[tex]\[b^2 = 16\][/tex]
[tex]\[b = \sqrt{16} = 4\][/tex]
### 5. Ecuación de la elipse
La ecuación general de una elipse centrada en [tex]\((h, k)\)[/tex] con semieje mayor [tex]\(a\)[/tex] y semieje menor [tex]\(b\)[/tex] es:
[tex]\[\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1\][/tex]
Dado que hemos encontrado [tex]\(h = 4\)[/tex], [tex]\(k = 3\)[/tex], [tex]\(a = 5\)[/tex] y [tex]\(b = 4\)[/tex], la ecuación de la elipse se convierte en:
[tex]\[\frac{(x-4)^2}{5^2} + \frac{(y-3)^2}{4^2} = 1\][/tex]
Simplificando, se obtiene la ecuación final de la elipse:
[tex]\[\frac{(x-4)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{16} = 1\][/tex]
Así, la ecuación de la elipse con los vértices en [tex]\((-1, 3)\)[/tex] y [tex]\((9, 3)\)[/tex] y los focos en [tex]\((1, 3)\)[/tex] y [tex]\((7, 3)\)[/tex] es:
[tex]\[\frac{(x-4)^2}{25} + \frac{(y-3)^2}{16} = 1\][/tex]
