Rezolvarea acestui exercițiu presupune mai întâi convertirea numărului periodic [tex]\(2,(5)\)[/tex] în fracție, urmată de adunarea acestuia cu [tex]\(1,3\)[/tex].
### Etapa 1: Convertirea numărului periodic [tex]\(2,(5)\)[/tex] în fracție
Să reprezentăm numărul [tex]\(2,(5)\)[/tex] sub forma unei fracții.
1. Să notăm [tex]\( x = 2,(5) \)[/tex]. Acest lucru înseamnă că [tex]\( x = 2.55555... \)[/tex].
2. Multiplicăm ambele părți cu 10 pentru a muta virgula cu o poziție la dreapta:
[tex]\[ 10x = 25.55555... \][/tex]
3. Scădem ecuația originală ([tex]\(x = 2.55555...\)[/tex]) de la cea obținută prin înmulțire:
[tex]\[ 10x - x = 25.55555... - 2.55555... \][/tex]
[tex]\[ 9x = 23 \][/tex]
4. Rezolvăm pentru [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{23}{9} \][/tex]
### Etapa 2: Convertirea lui [tex]\(1,3\)[/tex] într-o fracție
Convertim numărul zecimal [tex]\(1,3\)[/tex] într-o fracție:
[tex]\[ 1,3 = \frac{13}{10} \][/tex]
### Etapa 3: Adunarea fracțiilor
Pentru a putea aduna fracțiile [tex]\(\frac{13}{10}\)[/tex] și [tex]\(\frac{23}{9}\)[/tex], găsim un numitor comun:
Numitorul comun pentru 10 și 9 este 90.
1. Convertim fracția [tex]\(\frac{13}{10}\)[/tex] la numitorul comun 90:
[tex]\[ \frac{13}{10} = \frac{13 \cdot 9}{10 \cdot 9} = \frac{117}{90} \][/tex]
2. Convertim fracția [tex]\(\frac{23}{9}\)[/tex] la numitorul comun 90:
[tex]\[ \frac{23}{9} = \frac{23 \cdot 10}{9 \cdot 10} = \frac{250}{90} \][/tex]
3. Adunăm cele două fracții cu același numitor:
[tex]\[ \frac{117}{90} + \frac{250}{90} = \frac{117 + 250}{90} = \frac{367}{90} \][/tex]
### Etapa 4: Simplificarea rezultatului
Fracția [tex]\(\frac{367}{90}\)[/tex] este deja în forma sa ireductibilă, dar putem converti rezultatul în formă zecimală pentru claritate.
Rezultatul calculului poate fi exprimat zecimal:
[tex]\[ \frac{367}{90} \approx 4.0777777777777775 \][/tex]
Astfel, rezultatul calculului [tex]\(1,3 + 2,(5)\)[/tex] este egal cu aproximativ [tex]\(4,0777777777777775\)[/tex].
