Saber 11 - Matemáticas

Al entrar a un túnel, un carro que lleva una velocidad de [tex]$10 \, \frac{m}{s}$[/tex] acelera a [tex]$3 \, \frac{m}{s^2}$[/tex] durante 15 segundos, que es lo que dura recorriéndolo. La longitud del túnel se puede calcular mediante la siguiente fórmula:

[tex]\[
\left(10 \, \frac{m}{s}\right) \times (15 \, s) + \frac{1}{2} \left(3 \, \frac{m}{s^2}\right) \times (15 \, s)^2
\][/tex]

Al ver la fórmula, una persona afirma que esta es equivalente a:

[tex]\[
15 \, s \times \left(10 \, \frac{m}{s} + \frac{1}{2} \left(3 \, \frac{m}{s^2}\right)\right)
\][/tex]

¿Es verdadera la afirmación de la persona?

A. Sí, porque lo que hizo fue factorizar el tiempo que tarda en recorrer el túnel.

B. No, porque omitió que hay unos 15 segundos elevados al cuadrado.

C. Sí, porque el exponente 2, al que está elevado el tiempo, se puede cancelar.

D. No, porque también se tiene que factorizar el fraccionario [tex]$\frac{1}{2}$[/tex].



Answer :

Para resolver este problema, comenzaremos desglosando la expresión original y la propuesta por la persona, y compararemos ambos resultados para verificar si son equivalentes.

### Paso a paso:

1. Desglose de la expresión original:

La expresión dada para calcular la longitud del túnel es:
[tex]\[ \left( 10 \frac{m}{s} \right) \times (15 \, s) + \frac{1}{2} \left( 3 \frac{m}{s^2} \right) \times (15 \, s)^2 \][/tex]

Calculamos cada uno de los términos por separado:

- Primer término:
[tex]\[ \left( 10 \frac{m}{s} \right) \times (15 \, s) = 150 \, m \][/tex]

- Segundo término:
[tex]\[ \frac{1}{2} \left( 3 \frac{m}{s^2} \right) \times (15 \, s)^2 \][/tex]
Calculamos el cuadrado del tiempo primero:
[tex]\[ (15 \, s)^2 = 225 \, s^2 \][/tex]
Ahora multiplicamos:
[tex]\[ \frac{1}{2} \times 3 \frac{m}{s^2} \times 225 \, s^2 = \frac{1}{2} \times 3 \times 225 \, m = \frac{1}{2} \times 675 \, m = 337.5 \, m \][/tex]

Sumando ambos términos, obtenemos:
[tex]\[ 150 \, m + 337.5 \, m = 487.5 \, m \][/tex]

2. Desglose de la expresión propuesta por la persona:

La persona propone que la fórmula es equivalente a:
[tex]\[ 15 \, s \times \left( 10 \frac{m}{s} + \frac{1}{2} \left( 3 \frac{m}{s^2} \right) \times 15 \, s \right) \][/tex]

Primero, calculamos el término dentro del paréntesis:
[tex]\[ 10 \frac{m}{s} + \frac{1}{2} \left( 3 \frac{m}{s^2} \right) \times 15 \, s \][/tex]
[tex]\[ 10 \frac{m}{s} + \frac{1}{2} \times 3 \frac{m}{s^2} \times 15 \, s \][/tex]
[tex]\[ 10 \frac{m}{s} + \frac{1}{2} \times 45 \frac{m}{s} = 10 \frac{m}{s} + 22.5 \frac{m}{s} = 32.5 \frac{m}{s} \][/tex]

Ahora multiplicamos por los 15 segundos:
[tex]\[ 15 \, s \times 32.5 \frac{m}{s} = 487.5 \, m \][/tex]

### Comparación y conclusión:
Ambas expresiones, la original y la propuesta por la persona, dan el resultado de [tex]\( 487.5 \, m \)[/tex]. Por lo tanto, la afirmación de la persona es correcta.

Conclusión:
La afirmación de la persona es verdadera. La opción correcta es:

A. Sí, porque lo que hizo fue factorizar el tiempo que tarda en recorrer el túnel.