Claro, vamos a resolver los problemas paso a paso.
### Problema 7
Enunciado:
El perímetro de un cuadrado después de aumentar 5 cm el lado es 168 cm. ¿Cuál es la medida del lado del cuadrado inicial?
Solución:
1. Sabemos que el perímetro de un cuadrado es 4 veces la longitud de uno de sus lados. Entonces, si el nuevo perímetro es 168 cm, la longitud del lado del cuadrado después del aumento es:
[tex]\[
\text{Longitud del nuevo lado} = \frac{\text{Nuevo perímetro}}{4} = \frac{168 \, \text{cm}}{4} = 42 \, \text{cm}
\][/tex]
2. El incremento en la longitud del lado del cuadrado fue de 5 cm. Por lo tanto, la longitud del lado del cuadrado inicial sería:
[tex]\[
\text{Longitud del lado inicial} = \text{Longitud del nuevo lado} - \text{Incremento} = 42 \, \text{cm} - 5 \, \text{cm} = 37 \, \text{cm}
\][/tex]
Respuesta: La medida del lado del cuadrado inicial es 37 cm.
### Problema 8
Enunciado:
En un rectángulo, un lado es cuatro veces mayor que el otro, y el perímetro es 100 cm. Calcula las longitudes de cada lado.
Solución:
1. Sea [tex]\( x \)[/tex] la longitud del lado corto del rectángulo. Entonces, el lado largo sería [tex]\( 4x \)[/tex].
2. La fórmula para el perímetro de un rectángulo es:
[tex]\[
\text{Perímetro} = 2 \times (\text{lado corto} + \text{lado largo})
\][/tex]
Sustituyendo las longitudes de los lados en la fórmula:
[tex]\[
100 \, \text{cm} = 2 \times (x + 4x) = 2 \times 5x
\][/tex]
3. Ahora resolvemos para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
2 \times 5x = 100 \, \text{cm} \implies 10x = 100 \, \text{cm} \implies x = \frac{100 \, \text{cm}}{10} = 10 \, \text{cm}
\][/tex]
4. Ya sabemos que el lado corto es [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
\text{Lado corto} = 10 \, \text{cm}
\][/tex]
5. Para encontrar el lado largo, multiplicamos:
[tex]\[
\text{Lado largo} = 4x = 4 \times 10 \, \text{cm} = 40 \, \text{cm}
\][/tex]
Respuesta: Las longitudes de los lados del rectángulo son 10 cm (lado corto) y 40 cm (lado largo).
