Para hallar el quinto término del desarrollo binomial de [tex]\((4 - x)^7\)[/tex], utilizaremos la fórmula del término general de un binomio que se expresa como:
[tex]\[ T_{k+1} = \binom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k \][/tex]
donde:
- [tex]\( n \)[/tex] es el exponente del binomio (en este caso, [tex]\( n = 7 \)[/tex]).
- [tex]\( a \)[/tex] es el primer término en el binomio (en este caso, [tex]\( a = 4 \)[/tex]).
- [tex]\( b \)[/tex] es el segundo término en el binomio, considerando su signo (en este caso, [tex]\( b = -x \)[/tex]).
- [tex]\( k \)[/tex] es el índice del término menos 1 (para el quinto término, [tex]\( k = 4 \)[/tex]).
Sigamos los pasos para obtener el quinto término:
1. Determinar el coeficiente binomial:
[tex]\[ \binom{n}{k} = \binom{7}{4} \][/tex]
2. Simplificar el coeficiente binomial:
[tex]\[ \binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35 \][/tex]
3. Calcular [tex]\( a^{n-k} \)[/tex]:
[tex]\[ a^{n-k} = 4^{7-4} = 4^3 = 64 \][/tex]
4. Calcular [tex]\( b^k \)[/tex]:
[tex]\[ b^k = (-x)^4 = (-1 \cdot x)^4 = (-1)^4 \cdot x^4 = 1 \cdot x^4 = x^4 \][/tex]
5. Multiplicar todos los factores:
[tex]\[ T_5 = \binom{7}{4} \cdot 4^{7-4} \cdot (-x)^4 = 35 \cdot 64 \cdot x^4 \][/tex]
6. Realizar la multiplicación final:
[tex]\[ T_5 = 35 \cdot 64 \cdot x^4 = 2240 \cdot x^4 \][/tex]
Por lo tanto, el quinto término del desarrollo de [tex]\((4 - x)^7\)[/tex] es:
[tex]\[ 2240x^4 \][/tex]
