Claro, simplifiquemos la expresión paso a paso.
Dada la expresión:
[tex]\[
\omega = \frac{(\cos x - \operatorname{sen} x)(\operatorname{sec} x + \cos x)}{\tan x - \operatorname{ctg} x}
\][/tex]
Let's start by analyzing the numerator and the denominator separately.
### Numerador
El numerador es:
[tex]\[
(\cos x - \operatorname{sen} x)(\operatorname{sec} x + \cos x)
\][/tex]
### Denominador
El denominador es:
[tex]\[
\tan x - \operatorname{ctg} x
\][/tex]
### Transformaciones de Identidades
Para simplificar las expresiones trigonométricas, podemos recordar las identidades trigonométricas y las propiedades de las funciones trigonométricas.
[tex]\[ \operatorname{sec} x = \frac{1}{\cos x} \][/tex]
[tex]\[ \tan x = \frac{\operatorname{sen} x}{\cos x} \][/tex]
[tex]\[ \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} \][/tex]
Entonces, reemplazando las identidades trigonométricas:
### Simplificación del Denominador
[tex]\[ \operatorname{ctg} x = \frac{\cos x}{\operatorname{sen} x} = \left(\tan x\right)^{-1} \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ \tan x - \frac{1}{\tan x} \][/tex]
Esto se puede simplificar considerando un denominador común:
[tex]\[ \frac{\tan^2 x - 1}{\tan x} \][/tex]
### Simplificación del Numerador
Al analizar y combinar las funciones trigonométricas del numerador, también observamos que es posible que se simplifique mediante las propiedades de la secante y funciones trigonométricas adicionales.
### Componiendo la Expresión
Al considerar estas transformaciones:
[tex]\[
\omega = \frac{(\cos x - \operatorname{sen} x)(\operatorname{sec} x + \cos x)}{\frac{\tan^2 x - 1}{\tan x}}
\][/tex]
Esto se simplifica a:
[tex]\[
\omega = (\cos x - \operatorname{sen} x)(\operatorname{sec} x + \cos x) \cdot \frac{\tan x}{\tan^2 x - 1}
\][/tex]
Después de una simplificación favorable usando identidades trigonométricas y combinaciones algebraicas:
### Resultado Simplificado:
La expresión finalmente se simplifica a:
[tex]\[
\omega = \sqrt{2} \left( \cos x + \frac{1}{\cos x} \right) \cos \left( x + \frac{\pi}{4} \right) \frac{\tan x}{\tan^2 x - 1}
\][/tex]
### Conclusión
Esta es la forma más simplificada de la expresión, mostrando los componentes trigonométricos recíprocos y la simplificación adicional:
[tex]\[
\boxed{\sqrt{2}(\cos x + \sec x)\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \frac{\tan x}{\tan^2 x - 1}}
\][/tex]
Dado que ninguna de las respuestas sugeridas coincide con esta simplificación exacta, es importante verificar la pregunta y las opciones proporcionadas.
