Answer :
Claro, vamos a resolver este problema paso a paso:
1. Identificar los datos del problema:
La ecuación de la circunferencia es [tex]\((x-4)^2+(y-2)^2=9\)[/tex].
El punto desde donde se trazan las tangentes es [tex]\(P(-2, -1)\)[/tex].
2. Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:
- Centro: [tex]\(C(4, 2)\)[/tex]
- Radio: [tex]\(r = 3\)[/tex] (ya que [tex]\(9 = 3^2\)[/tex])
3. Hallamos las tangentes desde un punto exterior a la circunferencia:
Para encontrar las tangentes que pasan por un punto exterior, utilizamos el hecho de que la distancia desde al punto [tex]\(P(-2, -1)\)[/tex] al centro [tex]\(C(4, 2)\)[/tex] debe ser igual al radio multiplicado por la pendiente perpendicular.
4. Encontrar la ecuación de la tangente perpendicular:
La ecuación general de la tangente a una circunferencia en [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] es:
[tex]\[(x_1 - 4)(x - 4) + (y_1 - 2)(y - 2) = 9\][/tex].
Pero primero necesitamos encontrar los puntos de tangencia. Consideramos la pendiente [tex]\(m\)[/tex] de la recta que va desde [tex]\(P(-2, -1)\)[/tex] hasta un punto de tangencia en la circunferencia [tex]\((x, y)\)[/tex]. La pendiente [tex]\(m\)[/tex] de la tangente será igual a [tex]\(\frac{dy}{dx}\)[/tex].
Recordamos que la distancia desde el centro [tex]\((4, 2)\)[/tex] a la recta [tex]\(y = mx + b\)[/tex] es igual al radio.
5. Ecuaciones para la distancia perpendicular:
La distancia desde un punto [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] a una línea [tex]\(Ax + By + C = 0\)[/tex] es:
[tex]\[\frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.\][/tex]
En este caso, [tex]\(x_1 = 4\)[/tex], [tex]\(y_1 = 2\)[/tex], [tex]\(A = m\)[/tex], [tex]\(B = -1\)[/tex], [tex]\(C = b\)[/tex], y el radio es [tex]\(3\)[/tex].
Esto nos da la siguiente ecuación:
[tex]\[\frac{|m(4) - 2(-1) + b|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3\][/tex].
6. Solución por pares ordenados:
A. Para [tex]\(y = -1\)[/tex]:
Diremos que la primera solución directa al observar después de simplificar es [tex]\(y = -1\)[/tex], revisando la condición del problema podemos servir que el punto [tex]\(P(-2, -1)\)[/tex] no afecta debido a la ortogonalidad directa desde nuestro cálculo inicial.
B. Para [tex]\(m \neq 0\)[/tex]:
Vamos a resolver esto por conjunto ecuacional para puntos (x, y): Iteramos con:
[tex]\((x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 9\)[/tex] para [tex]\(P(-2, -1)\)[/tex]
Dividir proceso:
1. Considerando [tex]\(y = mx + b\)[/tex] se formalizara de modo lineal y al eje perpendicular, resultando:
[tex]\((x - 4)^2 + ((4-x)m - p_b + b )^2 = Radio cuadratico 9\)[/tex].
Soluciones directas:
- R1: Parábola desde centro con [tex]\( y=-1\)[/tex]:
\- Solución indirecta con menores
2. Alternativamente se verifican [tex]\(Ax + By + C=0\)[/tex]
7. Conclusiones:
Simplificando los pasos:
- Primera tangente: [tex]\( y = -1 \)[/tex].
- Segunda tangente: [tex]\(4x - 3y + 5 = 0\)[/tex].
Así, hemos encontrado finalmente ambas soluciones. Comprobamos:
1. [tex]\(y = -1\)[/tex] corta directamente ortogonalmente la circunferencia y es valida.
2. Verificamos [tex]\(4x -3y + 5= 0\)[/tex].
En conclusión:
[tex]\[\boxed{y = -1 \quad \text{y} \quad 4x - 3y + 5 = 0}\][/tex]
Letamente logramos verificar ambas soluciones de las tangentes correspondiente.
1. Identificar los datos del problema:
La ecuación de la circunferencia es [tex]\((x-4)^2+(y-2)^2=9\)[/tex].
El punto desde donde se trazan las tangentes es [tex]\(P(-2, -1)\)[/tex].
2. Hallamos el centro y el radio de la circunferencia:
- Centro: [tex]\(C(4, 2)\)[/tex]
- Radio: [tex]\(r = 3\)[/tex] (ya que [tex]\(9 = 3^2\)[/tex])
3. Hallamos las tangentes desde un punto exterior a la circunferencia:
Para encontrar las tangentes que pasan por un punto exterior, utilizamos el hecho de que la distancia desde al punto [tex]\(P(-2, -1)\)[/tex] al centro [tex]\(C(4, 2)\)[/tex] debe ser igual al radio multiplicado por la pendiente perpendicular.
4. Encontrar la ecuación de la tangente perpendicular:
La ecuación general de la tangente a una circunferencia en [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] es:
[tex]\[(x_1 - 4)(x - 4) + (y_1 - 2)(y - 2) = 9\][/tex].
Pero primero necesitamos encontrar los puntos de tangencia. Consideramos la pendiente [tex]\(m\)[/tex] de la recta que va desde [tex]\(P(-2, -1)\)[/tex] hasta un punto de tangencia en la circunferencia [tex]\((x, y)\)[/tex]. La pendiente [tex]\(m\)[/tex] de la tangente será igual a [tex]\(\frac{dy}{dx}\)[/tex].
Recordamos que la distancia desde el centro [tex]\((4, 2)\)[/tex] a la recta [tex]\(y = mx + b\)[/tex] es igual al radio.
5. Ecuaciones para la distancia perpendicular:
La distancia desde un punto [tex]\((x_1, y_1)\)[/tex] a una línea [tex]\(Ax + By + C = 0\)[/tex] es:
[tex]\[\frac{|Ax_1 + By_1 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}.\][/tex]
En este caso, [tex]\(x_1 = 4\)[/tex], [tex]\(y_1 = 2\)[/tex], [tex]\(A = m\)[/tex], [tex]\(B = -1\)[/tex], [tex]\(C = b\)[/tex], y el radio es [tex]\(3\)[/tex].
Esto nos da la siguiente ecuación:
[tex]\[\frac{|m(4) - 2(-1) + b|}{\sqrt{m^2 + 1}} = 3\][/tex].
6. Solución por pares ordenados:
A. Para [tex]\(y = -1\)[/tex]:
Diremos que la primera solución directa al observar después de simplificar es [tex]\(y = -1\)[/tex], revisando la condición del problema podemos servir que el punto [tex]\(P(-2, -1)\)[/tex] no afecta debido a la ortogonalidad directa desde nuestro cálculo inicial.
B. Para [tex]\(m \neq 0\)[/tex]:
Vamos a resolver esto por conjunto ecuacional para puntos (x, y): Iteramos con:
[tex]\((x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 9\)[/tex] para [tex]\(P(-2, -1)\)[/tex]
Dividir proceso:
1. Considerando [tex]\(y = mx + b\)[/tex] se formalizara de modo lineal y al eje perpendicular, resultando:
[tex]\((x - 4)^2 + ((4-x)m - p_b + b )^2 = Radio cuadratico 9\)[/tex].
Soluciones directas:
- R1: Parábola desde centro con [tex]\( y=-1\)[/tex]:
\- Solución indirecta con menores
2. Alternativamente se verifican [tex]\(Ax + By + C=0\)[/tex]
7. Conclusiones:
Simplificando los pasos:
- Primera tangente: [tex]\( y = -1 \)[/tex].
- Segunda tangente: [tex]\(4x - 3y + 5 = 0\)[/tex].
Así, hemos encontrado finalmente ambas soluciones. Comprobamos:
1. [tex]\(y = -1\)[/tex] corta directamente ortogonalmente la circunferencia y es valida.
2. Verificamos [tex]\(4x -3y + 5= 0\)[/tex].
En conclusión:
[tex]\[\boxed{y = -1 \quad \text{y} \quad 4x - 3y + 5 = 0}\][/tex]
Letamente logramos verificar ambas soluciones de las tangentes correspondiente.
