Claro, vamos a resolver la ecuación:
[tex]\[
\left(\log_2(16x)\right)^2 + \left(\log_2(32x)\right)^2 = 13
\][/tex]
1. Comenzamos redefiniendo los términos dentro de los logaritmos para simplificar la expresión. Sabemos que [tex]\(16 = 2^4\)[/tex] y [tex]\(32 = 2^5\)[/tex]:
[tex]\[
\log_2(16x) = \log_2(2^4 \cdot x) = \log_2(2^4) + \log_2(x) = 4 + \log_2(x)
\][/tex]
[tex]\[
\log_2(32x) = \log_2(2^5 \cdot x) = \log_2(2^5) + \log_2(x) = 5 + \log_2(x)
\][/tex]
2. Usando estas identidades, la ecuación se convierte en:
[tex]\[
(4 + \log_2(x))^2 + (5 + \log_2(x))^2 = 13
\][/tex]
3. Llamemos [tex]\( \log_2(x) = y \)[/tex]. Entonces, la ecuación se simplifica a:
[tex]\[
(4 + y)^2 + (5 + y)^2 = 13
\][/tex]
4. Expandimos los términos:
[tex]\[
(4 + y)^2 = 16 + 8y + y^2
\][/tex]
[tex]\[
(5 + y)^2 = 25 + 10y + y^2
\][/tex]
Entonces:
[tex]\[
16 + 8y + y^2 + 25 + 10y + y^2 = 13
\][/tex]
5. Simplificamos:
[tex]\[
2y^2 + 18y + 41 = 13
\][/tex]
6. Restamos 13 de ambos lados para igualar a 0:
[tex]\[
2y^2 + 18y + 28 = 0
\][/tex]
7. Dividimos toda la ecuación entre 2:
[tex]\[
y^2 + 9y + 14 = 0
\][/tex]
8. Esta es una ecuación cuadrática estándar, que podemos resolver utilizando la fórmula cuadrática [tex]\( y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)[/tex], donde [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = 9\)[/tex], y [tex]\(c = 14\)[/tex]:
[tex]\[
y = \frac{-9 \pm \sqrt{81 - 56}}{2}
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{-9 \pm \sqrt{25}}{2}
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{-9 \pm 5}{2}
\][/tex]
Esto nos da dos soluciones:
[tex]\[
y = \frac{-9 + 5}{2} = -2
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{-9 - 5}{2} = -7
\][/tex]
9. Ya que [tex]\(y = \log_2(x)\)[/tex]:
[tex]\[
\log_2(x) = -2 \implies x = 2^{-2} = \frac{1}{4}
\][/tex]
[tex]\[
\log_2(x) = -7 \implies x = 2^{-7} = \frac{1}{128}
\][/tex]
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación [tex]\(\left(\log_2(16x)\right)^2 + \left(\log_2(32x)\right)^2 = 13\)[/tex] son [tex]\( x = \frac{1}{128} \)[/tex] y [tex]\( x = \frac{1}{4} \)[/tex].
Ninguno de los valores de la opciones proporcionadas coincide con las soluciones obtenidas. Por lo tanto, la respuesta correcta es [tex]\( (E) Ninguno \)[/tex].
