Claro, vamos a transformar estos decimales periódicos puros en fracciones paso a paso.
### Parte a) [tex]\(2, \overline{8}\)[/tex]
1. Primero, identifica la parte periódica del número. En este caso, tenemos un número puro periódico:
[tex]\[
2, \overline{8} = 2.8888\dots
\][/tex]
2. Reescribimos el número como una fracción. Para un decimal periódico puro, la fórmula es:
[tex]\[
\frac{A - B}{9}
\][/tex]
donde [tex]\( A \)[/tex] es el número formado por toda la secuencia repetitiva y su parte entera, y [tex]\( B \)[/tex] es la parte entera del número.
3. En [tex]\(2, \overline{8}\)[/tex]:
[tex]\[
A = 28 \quad \text{(porque el número es 2 con la parte periódica 8)}
\][/tex]
[tex]\[
B = 2 \quad \text{(la parte entera del número)}
\][/tex]
4. Sustituimos estos valores en la fórmula:
[tex]\[
\frac{A - B}{9} = \frac{28 - 2}{9} = \frac{26}{9}
\][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[
2, \overline{8} = \frac{26}{9}
\][/tex]
### Parte b) [tex]\(6, \overline{72}\)[/tex]
1. Identifica la parte periódica del número. Aquí también tenemos un número periódico puro:
[tex]\[
6, \overline{72} = 6.727272\dots
\][/tex]
2. Reescribimos el número como una fracción. Para un decimal periódico puro con más de un dígito en la parte repetitiva, la fórmula será:
[tex]\[
\frac{A - B}{99}
\][/tex]
donde [tex]\( A \)[/tex] es el número formado por toda la secuencia repetitiva y su parte entera, y [tex]\( B \)[/tex] es la parte entera del número.
3. En [tex]\(6, \overline{72}\)[/tex]:
[tex]\[
A = 672 \quad \text{(porque el número es 6 con la parte periódica 72)}
\][/tex]
[tex]\[
B = 6 \quad \text{(la parte entera del número)}
\][/tex]
4. Sustituimos estos valores en la fórmula:
[tex]\[
\frac{A - B}{99} = \frac{672 - 6}{99} = \frac{666}{99}
\][/tex]
Por lo tanto:
[tex]\[
6, \overline{72} = \frac{666}{99}
\][/tex]
En resumen:
a) [tex]\(2, \overline{8} = \frac{26}{9}\)[/tex]
b) [tex]\(6, \overline{72} = \frac{666}{99}\)[/tex]
