Desigur! Hai să parcurgem fiecare exercițiu și să explicăm soluția pas cu pas.
### Exercițiul a)
Enunț: Efectuând calculul [tex]$\frac{1717}{17}$[/tex]:
1. Trebuie să efectuăm împărțirea lui 1717 la 17.
2. Calculul arată astfel: [tex]$\frac{1717}{17} = 101$[/tex].
Rezultatul pentru acest exercițiu este:
[tex]$ 1717 : 17 = 101 $[/tex]
### Exercițiul b)
Enunț: Trebuie să găsim un număr sub forma [tex]$\overline{aaaa}$[/tex] (format din patru cifre identice) care, odată împărțit la 11, dă 101 ca rezultat.
1. Să reprezentăm numărul [tex]$\overline{aaaa}$[/tex] sub forma [tex]\(n = 1111a\)[/tex].
2. Știind că [tex]\(1111a = 101 \cdot 11\)[/tex], rezultă că [tex]$n$[/tex] trebuie să fie [tex]$101 \cdot 11$[/tex]. Așadar:
[tex]\[
\overline{aaaa} = 101 \times 11 = 1111
\][/tex]
3. Verificăm dacă [tex]\(1111\)[/tex] este un număr corect:
[tex]\[
\frac{1111}{11} = 101
\][/tex]
În concluzie, numărul dorit în acest caz este 101, adică patru cifre de 1, formând numărul 1111.
### Exercițiul c)
Enunț: Trebuie să găsim un număr sub forma [tex]$\overline{abcabc}$[/tex] astfel încât să avem [tex]\( \overline{abcabc} : \overline{abc} = 100 \)[/tex].
1. Notăm:
- [tex]$\overline{abcabc}$[/tex] ca fiind format din două repetări ale [tex]$\overline{abc}$[/tex].
- [tex]$N$[/tex] fiind numărul format din cifrele [tex]$\overline{abc}$[/tex].
2. Dacă [tex]$\overline{abcabc} = 1001 \cdot \overline{abc}$[/tex] (pentru că putem considera numărul format ca [tex]$abc \cdot 1001$[/tex]):
[tex]\[
\overline{abcabc} = 1001 \cdot \overline{abc}
\][/tex]
3. Împărțirea ne dă:
[tex]\[
\frac{1001 \cdot \overline{abc}}{\overline{abc}} = 1001 : 1 = 100
\][/tex]
Astfel:
[tex]\[
\frac{\overline{abcabc}}{\overline{abc}} = 100
\][/tex]
Concluzia pentru exercițiul c) este că numărul format respectă această împărțire, și astfel, rezultatul este corect, deci numărul de bază este [tex]\(100\)[/tex].
### Rezultate Finale:
- a) [tex]$\frac{1717}{17} = 101$[/tex]
- b) [tex]$\overline{aaaa} : 11 = 101$[/tex]
- c) [tex]$\overline{abcabc} : \overline{abc} = 100$[/tex]
Astfel, rezultatele sunt:
- a) 101
- b) 101
- c) 100
