Para determinar cuál de las expresiones listadas genera la secuencia de números [tex]\(1, 6, -1\)[/tex] cuando se sustituyen [tex]\(n = 1, 2, 3\)[/tex] respectivamente, vamos a evaluar cada opción por separado y verificar si coincide con la lista dada.
Vamos a empezar a evaluar las expresiones:
### Opción A: [tex]\(3(-1)^{n-1} + n\)[/tex]
1. Cuando [tex]\(n = 1\)[/tex]:
[tex]\[
3(-1)^{1-1} + 1 = 3(1) + 1 = 4
\][/tex]
2. Cuando [tex]\(n = 2\)[/tex]:
[tex]\[
3(-1)^{2-1} + 2 = 3(-1) + 2 = -3 + 2 = -1
\][/tex]
3. Cuando [tex]\(n = 3\)[/tex]:
[tex]\[
3(-1)^{3-1} + 3 = 3(1) + 3 = 3 + 3 = 6
\][/tex]
La secuencia obtenida es [tex]\(4, -1, 6\)[/tex]. Esta no coincide con [tex]\(1, 6, -1\)[/tex].
### Opción B: [tex]\(2(-1)^n + 4 - n\)[/tex]
1. Cuando [tex]\(n = 1\)[/tex]:
[tex]\[
2(-1)^1 + 4 - 1 = 2(-1) + 4 - 1 = -2 + 4 - 1 = 1
\][/tex]
2. Cuando [tex]\(n = 2\)[/tex]:
[tex]\[
2(-1)^2 + 4 - 2 = 2(1) + 4 - 2 = 2 + 4 - 2 = 4
\][/tex]
3. Cuando [tex]\(n = 3\)[/tex]:
[tex]\[
2(-1)^3 + 4 - 3 = 2(-1) + 4 - 3 = -2 + 4 - 3 = -1
\][/tex]
La secuencia obtenida es [tex]\(1, 4, -1\)[/tex]. Esta no coincide con [tex]\(1, 6, -1\)[/tex].
### Opción C: [tex]\((-1)^n + 2n\)[/tex]
1. Cuando [tex]\(n = 1\)[/tex]:
[tex]\[
(-1)^1 + 2(1) = -1 + 2 = 1
\][/tex]
2. Cuando [tex]\(n = 2\)[/tex]:
[tex]\[
(-1)^2 + 2(2) = 1 + 4 = 5
\][/tex]
3. Cuando [tex]\(n = 3\)[/tex]:
[tex]\[
(-1)^3 + 2(3) = -1 + 6 = 5
\][/tex]
La secuencia obtenida es [tex]\(1, 5, 5\)[/tex]. Esta no coincide con [tex]\(1, 6, -1\)[/tex].
### Opción D: [tex]\((-1)^{2n} + 1\)[/tex]
1. Cuando [tex]\(n = 1\)[/tex]:
[tex]\[
(-1)^{2(1)} + 1 = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2
\][/tex]
2. Cuando [tex]\(n = 2\)[/tex]:
[tex]\[
(-1)^{2(2)} + 1 = (-1)^4 + 1 = 1 + 1 = 2
\][/tex]
3. Cuando [tex]\(n = 3\)[/tex]:
[tex]\[
(-1)^{2(3)} + 1 = (-1)^6 + 1 = 1 + 1 = 2
\][/tex]
La secuencia obtenida es [tex]\(2, 2, 2\)[/tex]. Esta no coincide con [tex]\(1, 6, -1\)[/tex].
### Opción E: [tex]\(3(-1)^n + 5 - n\)[/tex]
1. Cuando [tex]\(n = 1\)[/tex]:
[tex]\[
3(-1)^1 + 5 - 1 = 3(-1) + 5 - 1 = -3 + 5 - 1 = 1
\][/tex]
2. Cuando [tex]\(n = 2\)[/tex]:
[tex]\[
3(-1)^2 + 5 - 2 = 3(1) + 5 - 2 = 3 + 5 - 2 = 6
\][/tex]
3. Cuando [tex]\(n = 3\)[/tex]:
[tex]\[
3(-1)^3 + 5 - 3 = 3(-1) + 5 - 3 = -3 + 5 - 3 = -1
\][/tex]
La secuencia obtenida es [tex]\(1, 6, -1\)[/tex]. Esta coincide exactamente con la lista dada.
Por lo tanto, la opción que genera la lista de números [tex]\(1, 6, -1\)[/tex] al sustituir [tex]\(n = 1, 2, 3\)[/tex] es la opción E) [tex]\(3(-1)^n + 5 - n\)[/tex].
