Para resolver o problema, precisamos determinar o valor de [tex]\( x \)[/tex] que satisfaz a relação descrita pelos catetos e pela hipotenusa do triângulo retângulo.
1. Defina os comprimentos dos lados:
- Primeiro cateto: [tex]\( x + 5 \)[/tex] cm
- Segundo cateto: [tex]\( x + 1 \)[/tex] cm
- Hipotenusa: [tex]\( x + 9 \)[/tex] cm
2. Utilize o Teorema de Pitágoras:
O Teorema de Pitágoras afirma que:
[tex]\[
(x + 5)^2 + (x + 1)^2 = (x + 9)^2
\][/tex]
3. Expanda e simplifique a equação:
- [tex]\((x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25\)[/tex]
- [tex]\((x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1\)[/tex]
- [tex]\((x + 9)^2 = x^2 + 18x + 81\)[/tex]
Então, a equação se torna:
[tex]\[
x^2 + 10x + 25 + x^2 + 2x + 1 = x^2 + 18x + 81
\][/tex]
4. Reorganize e simplifique a equação:
[tex]\[
2x^2 + 12x + 26 = x^2 + 18x + 81
\][/tex]
[tex]\[
2x^2 + 12x + 26 - x^2 - 18x - 81 = 0
\][/tex]
[tex]\[
x^2 - 6x - 55 = 0
\][/tex]
5. Resolva a equação quadrática:
Utilizando a fórmula de Bhaskara:
[tex]\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\][/tex]
Onde: [tex]\(a = 1\)[/tex], [tex]\(b = -6\)[/tex], [tex]\(c = -55\)[/tex]
[tex]\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 220}}{2}
\][/tex]
[tex]\[
x = \frac{6 \pm \sqrt{256}}{2}
\][/tex]
[tex]\[
x = \frac{6 \pm 16}{2}
\][/tex]
Então, temos duas soluções possíveis para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
x = \frac{6 + 16}{2} = 11
\][/tex]
[tex]\[
x = \frac{6 - 16}{2} = -5
\][/tex]
6. Determinação dos lados do triângulo:
- Se [tex]\(x = 11\)[/tex]:
- [tex]\( \text{Primeiro cateto} = 11 + 5 = 16 \)[/tex] cm
- [tex]\( \text{Segundo cateto} = 11 + 1 = 12 \)[/tex] cm
- [tex]\( \text{Hipotenusa} = 11 + 9 = 20 \)[/tex] cm
- Se [tex]\(x = -5\)[/tex]:
- [tex]\( \text{Primeiro cateto} = -5 + 5 = 0 \)[/tex] cm
- [tex]\( \text{Segundo cateto} = -5 + 1 = -4 \)[/tex] cm
- [tex]\( \text{Hipotenusa} = -5 + 9 = 4 \)[/tex] cm
7. Determine o perímetro:
A situação física e lógica aceitável exige que todos os lados sejam positivos e não nulos.
Portanto, consideramos apenas a solução onde [tex]\( x = 11 \)[/tex]:
- Comprimentos dos lados: 16 cm, 12 cm, e 20 cm
- Cálculo do perímetro:
[tex]\[
\text{Perímetro} = 16 + 12 + 20 = 48 \, \text{cm}
\][/tex]
Logo, o perímetro desse triângulo é [tex]\(48\)[/tex] cm.
