Claro, vamos a resolver cada una de las expresiones utilizando las propiedades de los exponentes y dejando el resultado final tal como se ha solicitado.
1. Para la expresión [tex]\(a^3 \cdot a^6 \cdot a^{-2}\)[/tex], aplicamos la propiedad de los exponentes que dice que al multiplicar potencias de la misma base se suman los exponentes:
[tex]\[
a^3 \cdot a^6 \cdot a^{-2} = a^{3 + 6 + (-2)} = a^7
\][/tex]
Entonces, el resultado es:
[tex]\[
a^7
\][/tex]
5. Para la expresión [tex]\(\frac{2^4 \cdot 3^8}{2^3 \cdot 3^5}\)[/tex], aplicamos la propiedad que al dividir potencias de la misma base se restan los exponentes:
[tex]\[
\frac{2^4}{2^3} \cdot \frac{3^8}{3^5} = 2^{4-3} \cdot 3^{8-5} = 2^1 \cdot 3^3 = 2 \cdot 27 = 54
\][/tex]
Entonces, el resultado es:
[tex]\[
54
\][/tex]
7. Para la expresión [tex]\(\left(\frac{5^2 \cdot 6^3}{5^6 \cdot 6}\right)^4\)[/tex], primero simplificamos dentro del paréntesis:
[tex]\[
\frac{5^2 \cdot 6^3}{5^6 \cdot 6} = \frac{5^2}{5^6} \cdot \frac{6^3}{6} = 5^{2-6} \cdot 6^{3-1} = 5^{-4} \cdot 6^2
\][/tex]
Elevando esto a la cuarta potencia:
[tex]\[
\left(5^{-4} \cdot 6^2\right)^4 = 5^{-4 \cdot 4} \cdot 6^{2 \cdot 4} = 5^{-16} \cdot 6^8
\][/tex]
Simplificando aún más:
[tex]\[
5^{-16} \cdot 6^8 = \frac{6^8}{5^{16}}
\][/tex]
Por lo tanto, el resultado es:
[tex]\[
\frac{6^8}{5^{16}} = 1.1007531417599998 \times 10^{-5}
\][/tex]
2. Para la expresión [tex]\(m^{-5} \cdot m^5 \cdot m^7 \cdot m\)[/tex], sumamos los exponentes:
[tex]\[
m^{-5} \cdot m^5 \cdot m^7 \cdot m = m^{-5+5+7+1} = m^8
\][/tex]
Entonces, el resultado es:
[tex]\[
m^8
\][/tex]
3. Para la expresión [tex]\((3ab)^5\)[/tex], aplicamos la propiedad de la potencia de un producto:
[tex]\[
(3ab)^5 = 3^5 \cdot a^5 \cdot b^5 = 243a^5b^5
\][/tex]
Entonces, el resultado es:
[tex]\[
243a^5b^5
\][/tex]
6. Para la expresión [tex]\(\frac{x^0 \cdot x^3}{x^2 \cdot x^1}\)[/tex], aplicamos las propiedades de los exponentes:
[tex]\[
\frac{x^0 \cdot x^3}{x^2 \cdot x} = \frac{x^3}{x^3} = x^{3-3} = x^0 = 1
\][/tex]
Entonces, el resultado es:
[tex]\[
1
\][/tex]
8. Para la expresión [tex]\(\left(\frac{2a^5b^3}{4a^6b}\right)^2\)[/tex], simplificamos dentro del paréntesis:
[tex]\[
\frac{2a^5b^3}{4a^6b} = \frac{2}{4} \cdot \frac{a^5}{a^6} \cdot \frac{b^3}{b} = \frac{1}{2} \cdot a^{-1} \cdot b^2
\][/tex]
Ahora elevamos todo esto al cuadrado:
[tex]\[
\left(\frac{1}{2} \cdot a^{-1} \cdot b^2\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot (a^{-1})^2 \cdot (b^2)^2 = \frac{1}{4} \cdot a^{-2} \cdot b^4 = \frac{b^4}{4a^2}
\][/tex]
Entonces, el resultado es:
[tex]\[
\frac{b^4}{4a^2}
\][/tex]
4. Para la expresión [tex]\((a^3)^5\)[/tex], aplicamos la propiedad de potencia de una potencia:
[tex]\[
(a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15}
\][/tex]
Entonces, el resultado es:
[tex]\[
a^{15}
\][/tex]
Estos son los resultados de cada una de las expresiones dadas.
