Untuk menyelesaikan permasalahan ini, kita perlu mencari nilai dari [tex]$a$[/tex] dan [tex]$b$[/tex] yang memenuhi kedua persamaan berikut:
1. [tex]\( a + b = 20 \)[/tex]
2. [tex]\( a \cdot b = 64 \)[/tex]
Mari kita selesaikan sistem persamaan ini. Pertama-tama, kita substitusikan salah satu variabel dari persamaan pertama ke dalam persamaan kedua. Misalkan kita menyelesaikan persamaan pertama untuk [tex]$b$[/tex]:
[tex]\[ b = 20 - a \][/tex]
Sekarang kita substitusikan nilai [tex]$b$[/tex] ini ke dalam persamaan kedua:
[tex]\[ a \cdot (20 - a) = 64 \][/tex]
Ini memberikan kita sebuah persamaan kuadrat:
[tex]\[ 20a - a^2 = 64 \][/tex]
[tex]\[ -a^2 + 20a - 64 = 0 \][/tex]
[tex]\[ a^2 - 20a + 64 = 0 \][/tex]
Untuk menyelesaikan persamaan kuadrat ini, kita bisa menggunakan rumus kuadrat [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \][/tex]
Disini, [tex]\( a = 1 \)[/tex], [tex]\( b = -20 \)[/tex], dan [tex]\( c = 64 \)[/tex]. Maka kita punya:
[tex]\[ a = \frac{20 \pm \sqrt{20^2 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1} \][/tex]
[tex]\[ a = \frac{20 \pm \sqrt{400 - 256}}{2} \][/tex]
[tex]\[ a = \frac{20 \pm \sqrt{144}}{2} \][/tex]
[tex]\[ a = \frac{20 \pm 12}{2} \][/tex]
Jadi, kita menemukan dua nilai untuk [tex]\( a \)[/tex]:
[tex]\[ a = \frac{20 + 12}{2} = 16 \][/tex]
[tex]\[ a = \frac{20 - 12}{2} = 4 \][/tex]
Dengan nilai-nilai [tex]\( a \)[/tex] ini, kita bisa menemukan nilai-nilai yang bersesuaian untuk [tex]\( b \)[/tex]:
Jika [tex]\( a = 16 \)[/tex]:
[tex]\[ b = 20 - 16 = 4 \][/tex]
Jika [tex]\( a = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ b = 20 - 4 = 16 \][/tex]
Jadi, kita memiliki dua pasangan solusi untuk [tex]\( a \)[/tex] dan [tex]\( b \)[/tex], yaitu:
1. [tex]\( (a, b) = (16, 4) \)[/tex]
2. [tex]\( (a, b) = (4, 16) \)[/tex]
Sekarang, mari kita analisa pilihan yang tersedia:
- Untuk pilihan A ([tex]$ a < b $[/tex]), kita punya [tex]\( a = 4 \)[/tex] dan [tex]\( b = 16 \)[/tex]. Namun, pasangan lainnya ([tex]\( a = 16 \)[/tex], [tex]\( b = 4 \)[/tex]) menunjukkan [tex]\( a > b \)[/tex], jadi opsi ini tidak selalu benar.
- Untuk pilihan B ([tex]$ a > b $[/tex]), kita punya [tex]\( a = 16 \)[/tex] dan [tex]\( b = 4 \)[/tex]. Namun, pasangan lainnya ([tex]\( a = 4 \)[/tex], [tex]\( b = 16 \)[/tex]) menunjukkan [tex]\( a < b \)[/tex], jadi opsi ini juga tidak selalu benar.
- Untuk pilihan C ([tex]$ a = b $[/tex]), tidak ada solusi yang menunjukkan [tex]\( a = b \)[/tex].
- Untuk pilihan E ([tex]$ d = a $[/tex]), pilihan ini tidak relevan dalam konteks persamaan kita.
Jadi, jawaban yang paling tepat adalah:
D. hubungan a dan b tidak dapat di tentukan
Hubungan antara [tex]\( a \)[/tex] dan [tex]\( b \)[/tex] tidak dapat ditentukan karena tergantung pada solusi mana yang kita lihat.
